Técnico

No desenvolvimento do tema foram utilizados:

• A biblioteca jQuery 1.1.2;
• E o plugin Accordion 1.3.

A versão atual do plugin é a 1.5 e a substituição da anterior por esta não apresentou o mesmo comportamento obtido no tema, devido, certamente, a novas características implementadas por seu autor.

O uso da versão 1.3 se justifica, no meu caso, por já tê-la aplicado na construção do menu do site da empresa na qual trabalho. Creio que não haja grandes dificuldades para a migração.

Por fim, um fato a ser observado é que se você utiliza outra biblioteca, como a prototype, por exemplo, é necessário substituir no arquivo accordion.js o “$” por “jQuery” para evitar possíveis conflitos. O arquivo com a alteração mencionada é disponibilizado no final do post para download juntamente com a biblioteca jQuery.

Criando o Tema

Primeiro foi incluído o código abaixo na tag head do arquivo header.php.

<script type="text/javascript" src="<?php bloginfo('url') ?>/pasta_do_arquivo/jquery.js"></script>
<script type="text/javascript" src="<?php bloginfo('url') ?>/pasta_do_arquivo/accordion.js"></script>

Em seguida inserido, ainda na head, o código abaixo para criar as instâncias Accordion da sidebar a partir da lista não ordenada #theMenu e do conteúdo do blog a partir da div #conteudo, que são iniciadas quando a página é carregada. Para quem não sabe o jQuery().ready é equivalente ao window.load.

<script type="text/javascript">
   jQuery().ready(function(){
   // applying the settings
      jQuery('#theMenu').Accordion({
         header: 'h2.head',
         alwaysOpen: false,
         animated: true,
         showSpeed: 400,
         hideSpeed: 800
      })
   });

   jQuery().ready(function(){
   // applying the settings
      jQuery('#conteudo').Accordion({
         header: 'h2.head',
         active: false,
         alwaysOpen: false,
         animated: true,
         showSpeed: 400,
         hideSpeed: 800
	  });
   });
</script>

A opção header indica o seletor onde se iniciam os conteúdos de cada item a ser (ou não) exibido de acordo com o que é clicado pelo usuário, o evento default do plugin. O evento “click” pode ser alterado acrescentando-se a opção event: ‘mouseover’, por exemplo.

A opção alwaysOpen é setada como false de modo a evitar que sejam executados os permalinks existentes nos títulos dos posts, não retirados do tema, e fazer com que o conteúdo seja exibido na mesma página. Na sidebar não surte nenhum efeito pois o tema não possui links em seus itens.

As três últimas opções – animated, showSpeed e hideSpeed – são auto-explicativas.

Na parte de conteúdo do blog foi utilizada a opção active: false, para a instância Accordion correspondente, para que nenhum artigo fique aberto quando a página estiver totalmente carregada. Por default é aberto o primeiro filho (item 0) da instância. Caso necessite abrir o item 6 do menu como default, por exemplo, use:

<script>
    jQuery().ready(function(){
        jQuery('#theMenu').activate(5);
    });
</script>

Parte da estrutura da sidebar do tema pode ser vista aqui e fornece a idéia de como ela foi construída.

Note que não tem nenhum mistério. Ressalvo apenas o uso do h2 com o em de modo a permitir a colocação do ícone com o ponto de exclamação no ínicio dos títulos e o sinal de + ou – à direita.

<h2 class="head"><em><a href="javascript:;">Posts de Matemática</a></em></h2>

Suponho que a maioria dos temas tenham essa estrutura na sidebar, infelizmente não era o meu caso, o que implicou em alterações nas folhas de estilo, mas nada que não tenha sido resolvido tranquilamente :-).

Por fim nos programas do tema que envolvem conteúdo proceda como indicado abaixo, onde é exibido um trecho da index.php.

<?php get_header(); ?>

<div id="content">
...
   <div id="conteudo">
...
      <h2 class="head"><a href="<?php the_permalink() ?>" title="Permalink"><?php the_title(); ?><a></h2>
...
   </div>
...
</div>

Se você ainda não observou foram adicionados alguns efeitos especiais. Por exemplo, ao clicar em uma das categorias do blog, ao exibir a página o menu correspodente permanece aberto. Tal efeito é obtido colocando-se o código abaixo no programa footer.php do tema.

<?php if (is_category()) { ?>
<script>
    jQuery().ready(function(){
        jQuery('#theMenu').activate(1);
    });
</script>

Isto posto, diga o que você achou levando-se em conta, também, questões de acessibilidade entre outras.

Download

Adição

É a operação que tem por fim determinar uma fração que contenha todas as unidades e partes de unidades de várias parcelas de mesma natureza.

Entende-se por mesma natureza as frações que exprimem as mesmas partes da unidade, ou seja, que tenham o mesmo denominador, também conhecidas como homogêneas (2/8, 3/8 e 5/8 é um exemplo de tais frações).

Distinguem-se três casos na adição de frações.

A1. Soma ou adição de frações homogêneas ou de mesmo denominador.

Como fazer – Somam-se os numeradores e conserva-se o denominador comum.

Exemplo:

Como o denominador representa em quantas partes a unidade foi dividida, lembram-se, basta, para obter o número das partes, somar os numeradores.

Na figura a seguir temos uma pizza – prato comum em Brasília – servida para você e um amigo dividida em oito partes iguais (faça um esforço!). Se você come dois pedaços e seu amigo três, os dois juntos consumiram cinco partes em oito, ou seja, cinco oitavos da pizza.

A2. Adição de frações que não têm o mesmo denominador comum (frações heterogêneas).

Inicialmente, atente que não podemos somar quantidades de “coisas” diferentes e expressar o resultado em uma dessas “coisas”. Clareando: não podemos somar 5 maçãs e 3 bananas e dizer que o resultado é 8 maças ou 8 bananas.

Assim para somar frações heterogêneas é necessário, primeiro, transformar cada parcela nas mesmas partes da unidade, isto é, em frações que tenham o mesmo denominador comum.

Em resumo:

Como fazer – Para somar frações que não tenham o mesmo denominador, é preciso reduzi-las ao mesmo denominador e aplicar, então, a regra do primeiro caso A1.

Exemplo: Somar as frações 2/3, 5/8 e 1/6.

Utilizando-se da regra 2 de redução de frações ao mesmo denominador comum (veja a Parte II), temos que o mmc(3,6,8) = 24 e:

A3. Somar números mistos.

Como fazer:

• Método 1: Para somar números mistos, somam-se primeiro as partes fracionárias, depois as partes inteiras, acrescentando-lhes também os inteiros obtidos na adição das partes fracionárias;
• Método 2: Para somar números mistos, reduza-os, primeiro, a frações impróprias e após proceda como no caso A2.

Exemplo: Somar os números mistos e , pelo método 1. E você resolve pelo método 2, ok :-).

Pelo dito no método 1, temos:

Subtração

É a operação que tem por objetivo tirar de um número dado todas as unidades e partes da unidade de outro número de mesma natureza.

Observação: No que se segue não serão considerados os casos em que o minuendo é menor do que o subtraendo, pois requer o conhecimento da teoria dos números relativos. Mas as regras em si permanecem válidas para quem é detentor do assunto.

Da mesma forma que na adição temos três casos que se distinguem na subtração.

S1. Subtração de duas frações com o mesmo denominador.

Como fazer – Subtrai-se o numerador da menor do numerador da maior e conserva-se o denominador comum.

Exemplo:

S2. Subtração de duas frações que não têm o mesmo denominador.

Lembrem-se, como colocado para a adição, que somente podemos subtrair quantidades de mesma natureza.

Como fazer – Da mesma forma que na adição, para se obter a subtração de frações heterogêneas, é preciso, primeiro, reduzi-las ao mesmo denominador, e, então, aplicar o caso S1.

Exemplo:

S3. Subtração de números mistos

• Método 1: Para subtrair dois números mistos, subtraem-se primeiro as partes fracionárias, depois as partes inteiras e somam-se os resultados;
• Método 2: Para subtrair dois números mistos, reduza-os, primeiro, a frações impróprias e após proceda como no caso S2.

Exemplo (método 2): Convertendo os números mistos dados na subtração para frações impróprias:

E reduzindo ao mesmo denominador comum – mmc(3,5)=15:

Multiplicação

A multiplicação de frações é a operação na qual partindo-se de duas frações dadas se obtem uma terceira que corresponde ao produto das duas anteriores.

M1. Multiplicar uma fração por outra.

Como fazer. Para se multiplicar uma fração por outra, multiplicam-se seus numeradores para obter o numerador da fração produto e seus denominadores para obter o denominador da fração produto.

Exemplo:

Observação: Para se multiplicar um inteiro por uma fração ou uma fração por um inteiro basta multiplicar esse inteiro pelo numerador da fração ou o numerador da fração por esse inteiro. É só notar que um numero inteiro pode ser representado por uma fração cujo denominador é um, por exemplo, 5 = 5/1, e chegamos no caso M1, em que o denominador não se altera uma vez que é multiplicado por um.

M2. Produto de várias frações: É o resultado obtido multiplicando a primeira fração pela segunda; depois este produto pela terceira, e assim sucessivamente, até a última fração.

Observe que o produto de frações se faz da mesma forma que o produto de números inteiros e que o resultado, no caso das frações, é obtido pela aplicação repetida do caso M1.

Como fazer – Multiplicam-se os numeradores entre si para obter o numerador do produto e os denominadores entre si para obter o denominador do produto.

Exemplo:

Os cálculos acima poderiam ser simplificados, suprimindo-se os fatores comuns ao numerador e ao denominador, antes de efetuá-los, como indicado a seguir:

Divisão

Divisão de frações é a operação que tem por fim, dadas duas frações, dividendo e divisor, achar uma terceira, o quociente, tal que multiplicada pelo divisor, reproduza o dividendo.

D1. Dividir uma fração por um inteiro

Como fazer – Para se dividir uma fração por um inteiro multiplica-se o denominador pelo iinteiro.

Exemplo:

D2. Dividir um inteiro por uma fração.

Como fazer – Multiplica-se o inteiro pela fração invertida.

Exemplo:

D3. Dividir uma fração por outra.

Como fazer – Multiplica-se a fração do dividendo pela fração do divisor invertida. Em outras palavras conserva-se a primeira (dividendo) e multiplica-se pelo inverso da segunda (divisor).

Exemplo:

Observações Finais

• O inverso de um número é o quociente de 1 por este número. Exemplos: o inverso de 2 é 1/2, o inverso de 3/5 é 5/3 e o de 1/5 é 5;
• Duas frações são inversas quando o numerador de cada uma é o denominador da outra;
• Quando duas frações têm o mesmo denominador, o quociente entre elas é igual à fração formada pelo numerador da primeira sobre o da segunda. Exemplo (1/5):(3/5) = 1/3;
• O produto de dois números inversos é sempre 1;
• Dois números são recíprocos quando o seu produto é igual à unidade.

Referências:

Elementos de Aritmética, Curso Superior – Para o curso colegial e admissão às escolas superiores, do Irmão Isidoro Dumont, Coleção de Livros Didáticos F. T. D, publicado em 26/10/1945.

A solução que apresento tem como pressuposto uma página ou um site em que o charset é o ISO-8859-1, a linguagem de programação o PHP e o banco de dados o MySQL. Penso, que essa solução, pode facilmente ser adaptada para outras situações.

O assunto já foi objeto de posts no El Micox, no JulioGreef Blog e no fóruns iMaster, pelo menos.

O experimento é apresentado tomando-se como base um exemplo em que considera os métodos GET e POST do objeto XMLHttpRequest e os charset’s UTF-8 e ISO-8859-1 como formatos de gravação no banco de dados. E, claro, de acordo com a combinação entre método e charset é realizada a exibição correta dos caracteres acentuados no padrão da página ou site, no caso o ISO-8859-1.

A primeira medida é colocar no início das rotinas PHP o código a seguir para informar ao AJAX que os textos – label’s dos formulários, mensagens de erro e dados -, estão no formato ISO-8859-1.

<?php header("Content-Type: text/html;  charset=ISO-8859-1",true) ?>

Mesmo com esse código, é interessante observar o comportamento dos browsers frente aos métodos GET e POST do objeto XMLHttpRequest:

• No IE6, IE7, Netscape 8.0 e Firefox 2.0.0.7 os dados chegam nas rotinas chamadas, quando se usa o método GET, no formato ISO-8859-1 e no formato UTF-8 quando é utilizado o método POST;
• Já no Opera 9.0 em ambos os casos os dados chegam no formato UTF-8.

O comportamento em outros browsers, como por exemplo, o Safari, não tenho como estabelecer nessa situação. Quem sabe alguém aí pode ajudar.

Isso posto, o próximo passo é tratar os campos com informações textuais para gravá-los no banco de dados no formato desejado.

O papel é cumprido pelas instruções a seguir, de fácil interpretação, espero, e que leva em consideração as observações acima colocadas:

 if ($charset == "ISO-8859-1" && $metodo == "POST") {

    $titulo = utf8_decode($titulo);       // Converte os dados para ISO-8859-1

    $noticia = utf8_decode($noticia);

 }

 if ($charset == "UTF-8" && $metodo == "GET") {

    if ($browser != "Opera") {

       $titulo = utf8_encode($titulo);    // Converte para UTF-8

       $noticia = utf8_encode($noticia);

    }

 }

 if ($browser == "Opera" && $charset == "ISO-8859-1" && $metodo == "GET") {

    $titulo = utf8_decode($titulo);

    $noticia = utf8_decode($noticia);

 } 

Gravação efetuada, resta agora tratar os dados para que sejam exibidos no padrão ISO-8859-1:

   if ($rsnoticia->charset == "ISO-8859-1") {

      $ch_titulo = $rsnoticia->titulo;

      $ch_noticia = $rsnoticia->noticia;

   } else {

      $ch_noticia = utf8_decode($rsnoticia->noticia);

      $ch_titulo = utf8_decode($rsnoticia->titulo);

   }

Faça o download do experimento para analisar e testar e qualquer dúvida ou problema entre em contato.

Vamos abordar neste post as propriedades referentes à redução de frações. Alguns conceitos aqui utilizados encontram-se no post Frações – Parte I que podem – e devem – ser consultados em caso de dúvidas.

Redução de Frações

Reduzir uma fração é transformá-la em uma outra equivalente.

Tá legal. Mas o que são frações equivalentes? São aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração, ou seja, é a fração obtida, de uma outra, multiplicando-se ou dividindo-se o seu numerador e o denominador por um mesmo número diferente de zero (veja propriedade 6 da primeira parte).

Exemplo: . Veja que a segunda fração é obtida a partir da primeira multiplicando-se o seu numerador e seu denominador por 3. Inversamente, a primeira é obtida da segunda dividindo-se o seu numerador e seu denominador, também, por 3.

Os principais procedimentos de redução de frações são:

1. Reduzir inteiros a frações impróprias;
2. Reduzir números mistos a frações impróprias;
3. Extrair inteiros de frações impróprias;
4. Simplificar frações;
5. Reduzir frações ao mesmo denominador.

1. Reduzir inteiros a frações impróprias

Simples. É suficiente multiplicar o número inteiro escolhido por outro número inteiro – de preferência diferente de um – e compor a fração imprópria com o numerador igual ao produto obtido e o denominador igual ao multiplicador – o outro número.

Exemplo. Seja reduzir 7 inteiros a terços:

2. Reduzir números mistos a frações impróprias

Para se reduzir um número misto a fração imprópria, multiplica-se a sua parte inteira pelo denominador da parte fracionária e, ao produto adiciona-se o numerador da parte fracionária. Ao total obtido dá-se por denominador o da parte fracionária.

Exemplo. Seja reduzir 5 inteiros e 3/8 (três oitavos) a oitavos.

Como a unidade vale 8 oitavos, 5 unidades valem 5×8 ou 40 oitavos, os quais adicionados aos três oitavos dão 43 oitavos:

3. Extrair inteiros de frações impróprias

Para se extrair os inteiros de uma fração imprópria, isto é, transformá-la em um número misto, divide-se primeiro o numerador pelo denominador. O quociente dessa divisão representa os inteiros – parte inteira do número misto – e, caso haja resto, este será o numerador da parte fracionária cujo denominador é o da fração original.

Exemplo. Extrair os inteiros da fração imprópria 43/8.

Como a unidade vale 8 oitavos (8/8), temos na fração dada 5 unidades que cabem em 43 (5 x 8 = 40) e sobram 3 oitavos. Em outras palavras, a divisão de 43 por 8 tem como quociente o inteiro 5 e resto 3. Portanto, pela regra, vem;

4. Simplificar frações

Simplificar uma fração é reduzir esta fração à uma fração mais simples mantendo-se a proporção da fração original. E o princípio que norteia a simplificação de frações é: uma fração não se altera quando dividimos seus termos por um mesmo número diferente de zero (veja propriedade 6 do artigo anterior).

Observe que para simplificar frações é necessário que haja um divisor comum, além da unidade, aos seus termos. E, torná-la irredutível é obter a fração equivalente em que o único divisor comum aos seus termos é a unidade, ou seja, quando o mdc – máximo divisor comum – entre o numerador e o denominador é igual a 1, o que é o mesmo que os seus dois termos serem primos entre si.

Exemplo. Simplificar a fração 6/18.

Primeiro observe que seus termos são múltiplos de 2. E, portanto, ela pode ser simplificada efetuando-se a divisão de seus termos por 2:

O procedimento acima é, de fato, uma simplificação, uma vez que houve a redução a uma fração mais simples em que a proporção foi mantida. No entanto, ainda não se encontra em sua forma irredutível, pois o 3 é um divisor comum aos termos da fração resultante. Assim, efetuando mais uma simplificação, dividindo-se os termos por 3, vem:

obtendo-se a sua forma irredutível, uma vez que o mdc(3,1) = 1, isto é, 1 e 3 são primos entre si.

Teorema 1. Para reduzir uma fração à sua forma irredutível, é suficiente dividir os seus dois termos pelo seu mdc.

De fato, ao se dividir os dois termos de uma fração pelo seu mdc, obtem-se quocientes primos entre si, e portanto formam uma fração irredutível. Além do mais, essa fração é igual à fração original uma vez que foi obtida dividindo-se seus dois termos por um mesmo número.

No exemplo anterior o mdc(18,6) = 6 = 2 x 3, os fatores utilizados para se determinar a forma irredutível da fração dada. O mesmo resultado, claro, seria obtido se efetuassemos a divisão por 6.

5. Reduzir frações ao mesmo denominador

Reduzir frações ao mesmo denominador é determinar frações equivalentes às frações dadas e que tenham o mesmo denominador.

Novamente, o princípio em que se baseia a redução de frações ao mesmo denominador é o estabelecido na propriedade 6 do artigo anterior: Uma fração não se altera quando os seus dois termos são multiplicados pelo mesmo número diferente de zero.

Regra 1. A regra mais simples de se reduzir várias frações ao mesmo denominador é multiplicar os dois termos de cada uma pelo produto dos denominadores de todas as outras.

Exemplo 1. Reduzir ao mesmo denominador as frações 3/5 e 6/7.

Aplicando a regra 1, vem:

e

Como você é esperto deve ter notado que as frações obtidas são equivalentes às primitivas, pois resultaram da propriedade acima apontada e têm o mesmo denominador, igual ao produto dos denominadores das frações originais.

Exemplo 2. Reduzir ao mesmo denominador as frações 1/2, 2/3, 3/4.

Pela regra 1:

Regra 2. Redução de frações ao mesmo denominador comum utilizando-se o mmc (mínimo múltiplo comum). Pela própria definição de mmc o denominador assim obtido será o menor denominador comum das frações equivalentes, o que só ocorrerá pela regra 1 se os denominadores das frações dadas forem primos entre si. Passos:

• Simplificar as frações (não necessário, mas recomendado, pois facilita os cálculos);
• Determinar o mmc dos denominadores das frações originais ou simplificadas. Este será o denominador comum das frações equivalentes;
• Multiplicar o numerador de cada fração pelo quociente entre o mmc e o denominador desta fração. Este procedimento determina o numerador das frações equivalentes.

Exemplo. Reduzir ao mesmo denominador as frações do exemplo 2 da regra 1.

Primeiro passo: não se faz necessário pois todas as frações estão na forma irredutível.

Segundo passo: O mmc(2,3,4) = 12. Este será o denominador comum.

Terceiro passo: N1 = (12/2)x1 = 6; N2 = (12/3)x2 = 8; N3 = (12/4)x3 = 9, onde N1, N2 e N3 são os numeradores das frações equivalentes.

Logo as frações equivalentes são: 6/12; 8/12 e 9/12.

Referências:

Elementos de Aritmética, Curso Superior – Para o curso colegial e admissão às escolas superiores, do Irmão Isidoro Dumont, Coleção de Livros Didáticos F. T. D, publicado em 26/10/1945

Na galeria a seguir são exibidas fotos de minha última viagem a Natal, Rio Grande do Norte, Brasil, quando tive o grato prazer de participar da colação de grau de minha filha Juliana em Farmácia pela UFRN.

A razão para que o número 1089 seja considerado “mágico” decorre do fato de ser obtido da seguinte forma:

Dado um número qualquer composto de três algarismos diferentes – abc -, inverta esse número, no sentido de trás para frente – cba – e subtraia o menor do maior. Ao resultado dessa subtração – representada por xyz -, onde se deve considerar sempre um número de três algarismos, mesmo quando a diferença na casa das centenas é zero, some o seu inverso – zyx – e eis que surge “fagueiro” o número 1089.

O objetivo deste post é demonstrar porque isso sempre ocorre. Mas, antes alguns exemplos para que não restem eventuais dúvidas quanto ao enunciado.

Exemplo 1: Seja 367 um número escolhido, que escrito de trás para frente é 763. Subtraindo o menor do maior obtemos:

763 – 367 = 396

E somando o resultado obtido ao seu inverso de trás para frente:

396 + 693 = 1089

Exemplo 2: Agora tome o número 675. Utilizando-se dos mesmos procedimentos vem:

675 – 576 = 099 => 099 + 990 = 1089

Observe que no exemplo acima o zero a esquerda – em 099 – deve ser considerado para que o resultado seja o número “mágico” 1089.

Isto posto, vamos lá.

Seja e com a composição abc o número escolhido. Como a representa a centena, b a dezena e c a unidade, então e pode ser escrito como:

e = 100a + 10b + c.

Pelo enunciado, o “inverso” de e tem a composição “cba” e por analogia:

d = 100c + 10b + a.

Portanto, supondo que e > d, temos a > c (representam as centenas de e e d respectivamente) e que a subtração é dada por:

e – d = 100a + 10b + c – (100c + 10b + a)

Eliminando os parenteses e efetuando a multiplicação por -1, a famosa troca de sinal:

e – d = 100a + 10b + c – 100c – 10b – a

Efetuando as operações com os termos comuns, ou seja, 100a – a = 99a, 100c – c = 99c e 10b – 10b = 0:

e – d = 99a – 99c

Colocando 99 em evidência – termo comum às duas parcelas:

e – d = 99(a – c)

Até aqui fica demonstrado que o resultado da diferença entre e e d – que será representada pela composição xyz – é sempre um múltiplo de 99 e portanto, necessariamente, um múltiplo de 9.Como nas duas parcelas e e d, b não muda de posição, permanecendo na casa das dezenas e a > c, então o “y” da composição do resultado (”xyz”) será sempre igual a 9 (lembra do tira 1 dos tempos da aritmética!).

E como em todo número divisível por 9 a soma de seus algarimos é também um número divisível por 9, concluímos que x + z = 9.

Logo, podemos escrever o resultado R da soma da diferença pelo seu “inverso” como:

R = 100x + 10y + z + 100z + 10y + x

que pode ser reescrito como:

R = 100(x + z) + 20y + (x + z) = 100(9) + 20(9) + 9 = 900 + 180 + 9 = 1089

como queríamos demonstrar.

Observações:

• Na expressão 99(a – c), obtida na demonstração como resultado da subtração inicial, teremos sempre o valor 099 quando a diferença entre o algarismo da centena e da unidade do número escolhido for igual a 1, caso do exemplo 2 acima;
• Que os resultados possíveis para a subtração inicial são 099, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792 e 891;
• Que, com exceção do 099, todos os inversos utilizados na soma – segundo passo para obter o 1089 – estão, também, entre os números acima;
• E, finalmente, que o resultado de toda a brincadeira, para qualquer que seja o número escolhido, é sempre igual a 11 x 99 = 1089. Veja que se a – c = 2, por exemplo, temos como resultado da subtração 198 = 2 x 99 cujo inverso é 891 = 9 x 99, o que conduz a 1089 = (2×99) + (9×99) = 11 x 99.

Para que a apresentação do assunto em um único artigo não fique demasiadamente extenso, ele será dividido em duas ou mais partes. A primeira aborda um pouco de história das frações, cujo texto foi extraído da Wikipédia, sua definição e alguns conceitos e propriedades básicas. Nas próximas trataremos da redução, da simplificação e das operações com frações.

Um pouco de História

“No antigo Egito, por volta do ano 3000 a.C., o faraó Sesóstris distribuiu algumas terras às margens do rio Nilo para alguns agricultores privilegiados. O privilégio em possuir essas terras era porque todo ano, no mês de julho, as águas do rio inundavam essa região ao longo de suas margens e fertilizava os campos. Essas terras, portanto, eram bastante valorizadas.

Porém, era necessário remarcar os terrenos de cada agricultor em setembro, quando as águas baixavam. Os responsáveis por essa marcação eram os agrimensores, que também eram chamados de estiradores de corda, pois mediam os terrenos com cordas nas quais uma unidade de medida estava marcada.

Essas cordas eram esticadas e se verificava quantas vezes a tal unidade de medida cabia no terreno, mas é só parar para pensar um pouquinho para descobrir que nem sempre essa medida cabia inteira nos lados do terreno.

Esse problema só foi resolvido quando os egípcios criaram um novo número: o número fracionário. Ele era representado com o uso de frações, porém os egípcios só entendiam a fração como uma unidade (ou seja, frações cujo numerador é igual a 1).

Eles escreviam essas frações com uma espécie de sinal oval escrito em cima do denominador. Mas os cálculos eram complicados, pois no sistema de numeração que usavam no Egito nessa época os símbolos se repetiam muitas vezes.

Só ficou mais fácil trabalhar com as frações quando os hindus criaram o Sistema de Numeração Decimal, quando elas passaram a ser representadas pela razão de dois números naturais.

Desde então, as frações foram usadas para a resolução de diversos tipos de problemas matemáticos. Uma das formas mais correntes de se trabalhar com frações é a porcentagem, em que se expressa uma proporção ou uma relação a partir de uma fração cujo denominador é 100. O uso de frações também é de valia extrema para a resolução de problemas que envolvem regra de três.”

Definição

Fração é um número que designa uma ou mais partes iguais de uma unidade e sua representação genérica é:

onde a é o numerador e b o denominador e indicam os termos da fração.

O denominador (b) de uma fração estabelece em quantas partes iguais foi dividida a unidade e o numerador (a) quantas destas partes contém a fração.

Assim, se dividirmos a unidade em 5 partes iguais e tomarmos 1, 2, 3 ou 7 partes teremos as frações a seguir representadas:

Observe que, ainda considerando esse exemplo, se tomarmos 5 partes obtemos como resultado a própria unidade.

Leitura das Frações

Para se ler uma fração, enuncia-se primeiro seu numerador e depois o denominador de acordo com as seguintes regras:

• Quando o denominador é igual a 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 lêem-se meio, terço, quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo ou nono, respectivamente. Exemplo : lê-se dois terços;
• Quando o denominador é maior do que 9 acrescenta-se a terminação avos. Por exemplo, , lê-se cinco onze avos;
• Os denominadores múltiplos ou potências de 10 podem ser lidos, por exemplo, como décimo – ou dez avos -, vigésimo, centésimo, milésimo. Exemplo : lê-se dois décimos. As frações cujos denominadores é uma potência de 10 – isto é, a unidade seguida de um ou mais zeros – são denominadas decimais: (sete décimos), (setenta e oito centésimos), (duzentos e trinta e dois milésimos);
• Costuma-se também, na leitura, intercalar a palavra sobre, depois de enunciar o numerador. A fração pode ser lida como duzentos e trinta e dois sobre cinco mil, quatrocentos e setenta e sete.

Comparação das frações com a unidade

Uma fração é inferior à unidade – menor do que 1 – quando seu numerador é menor do que seu denominador. Nestes casos as frações são denominadas próprias. Exemplos: , e .

Uma fração é superior à unidade – maior do que 1 – quando seu numerador é maior do que seu denominador. Nestes casos as frações são denominadas impróprias. Exemplo: , e . Um caso particular de fração imprópria, denominada de aparente, ocorre quando o numerador é múltiplo do denominador. Exemplo: .

Comparação das frações entre si

Da definição de fração resulta:

• De duas frações de mesmo denominador a maior é a que tem o numerador maior. Exemplo: . Porque tendo as frações o mesmo denominador significa que a unidade foi dividida no mesmo número de partes iguais. Como a primeira tem o numerador maior – 8 – significa que ela tem mais partes do que a segunda, cujo numerador é 5.
• De duas frações de mesmo numerador a maior é a que tem o denominador menor. Exemplo: . Nesse caso – e de forma geral -, como as frações têm o mesmo numerador (5), elas possuem o mesmo número de partes da unidade, e como o nono da unidade é maior do que o treze avos segue-se que a primeira fração é maior do que a segunda.
• De duas frações próprias entre cujos termos existe a mesma diferença, a maior é aquela cujos termos são maiores. Exemplo: . Observe que na primeira fração faltam 2/9 para igualar a unidade e na segunda, 2/7. Pela regra anterior 2/9 é menor do que 2/7, logo 7/9 é a fração maior pois lhe falta menos para completar a unidade.

Propriedades das Frações

Propriedade 1. Uma fração representa o quociente da divisão do numerador pelo denominador.

Utilizaremos um exemplo prático para demonstrar a propriedade. Seja a fração 2/5, que segundo a propriedade deve representar o quociente de 2 por 5.

Observe inicialmente que 1/5 somado 5 vezes reproduz a unidade – decorrência da definição de fração. Logo, 2/5 somado 5 vezes darão 2 unidades, e, portanto a fração 2/5 representa o quociente de 2 por 5, pois multiplicada por 5 tem como resultado 2.

Propriedade 2. Quando uma divisão deixa um resto, pode-se completar o quociente por uma fração que tem por numerador o resto da divisão e por denominador o divisor.

Seja dividir 37 por 4 (= 37/4). Essa divisão tem como quociente 9 e resto 1. Assim podemos escrever:

37 = (9×4) + 1 = 36 + 1

Logo:

Observações:

• Na expressão acima na passagem da segunda igualdade foi utilizada a propriedade distributiva da divisão;
• A representação assinalada dentro do retângulo é denominada de número misto ou fração mista e lê-se nove inteiros e um quarto e, como o próprio nome sugere, é composta de uma parte inteira e outra fracionária;
• Uma fração mista é uma outra forma de representar uma fração imprópria;
• A operação inversa – transformar uma fração mista em uma fração imprópria – é feita multiplicando-se o número inteiro (9) pelo denominador (4) e somando o resultado ao numerador (1) para obter o numerador da fração imprópria (37) e o seu denominador é o mesmo da parte fracionária do número misto (4).

Propriedade 3. O valor de uma fração é o quociente da divisão do numerador pelo denominador.

Na definição geral de fração o numerador a e o denominador b podem ter qualquer valor. Assim, as expressões a seguir são consideradas como frações:

e são designadas geralmente como frações compostas. E o valor de uma fração composta é a fração simples que lhe é igual. Nos exemplos acima as frações compostas tem como valor 16/15 e 21/40, respectivamente.

Propriedade 4. Multiplicando-se ou dividindo o numerador de uma fração por um número, a fração é multiplicada ou dividida por esse número

Propriedade 5. Multiplicando-se ou dividindo-se o denominador de uma fração por um número, a fração e dividida ou multiplicada pelo número.

Propriedade 6. Multiplicando-se ou dividindo-se os dois termos – numerador e denominador – por um mesmo número a fração não se altera.

De fato, multiplicando o numerador de uma fração qualquer pelo número c, a fração é multiplicada por c pela propriedade 4, e, multiplicando-se o denominador por c a fração é dividida por c pela propriedade 5. Logo a fração não muda ou não se altera uma vez que é multiplicada e dividida pelo mesmo número c.

Por raciocínio analógo demonstra-se a propriedade para o caso da divisão. Esta propriedade é bastante utilizada na solução de problemas, em especial na racionalização de denominadores de frações irracionais.

Referências:

Elementos de Aritmética, Curso Superior – Para o curso colegial e admissão às escolas superiores, do Irmão Isidoro Dumont, Coleção de Livros Didáticos F. T. D, publicado em 26/10/1945

Tenho visto em alguns sites e blogs colocações que causam um certo “espanto” e que podem levar a supor que há inconsistências na Matemática.

Para jogar mais lenha na fogueira apresento, a seguir, duas demonstrações aparentemente corretas, mas que contêm uma passagem que contrariam princípios simples e, porque não dizer, triviais da Matemática, para que você se habilite a explicar o que tem de errado nelas.

Na primeira vou “demonstrar” que a + b = b, partindo da suposição de que a = b.

Inicialmente, multiplicamos os membros da igualdade a = b por a para obtermos:

a² = ab

Em seguida, subtraímos b² nos dois lados da igualdade anterior:

a² – b² = ab – b²

Do produto notável a² – b² = (a + b)(a – b) e colocando-se b em evidência no segundo membro da igualdade acima, vem:

(a + b)(a – b) = b(a – b)

E, finalmente, simplificando-se a – b nos dois membros da igualdade concluímos que:

a + b = b

Observe, agora, que se a = b = 1 então 2 = 1, ou se a = b = 2 que 4 = 2 e por aí vai.

E que tal “mostrar” que 1/9 > 1/3.

Obviamente é fato que 2 > 1. Multiplicando a desigualdade pelo logaritmo decimal de 1/3 vem:

2log(1/3) > log(1/3)

Pela propriedade dos logaritmos:

log(1/3)² > log(1/3)

Daqui, eliminando-se o logaritmo em ambos os membros:

(1/3)² > 1/3

E, finalmente:

1/9 > 1/3

Realmente tem algo de errado. Quem se habilita?

Para complementar o artigo escrito sobre Conjuntos Numéricos iremos abordar agora o conceito de intervalo na reta real R. Ou seja, dos subconjuntos de R que satisfazem à seguinte propriedade:

se x e y pertencem a I C R, x ≤ y, então para todo z tal que x ≤ z ≤ y, então z pertence a I

Sem entrar em detalhes, e apenas como informação adicional, a propriedade estabelece que os intervalos são subconjuntos conexos de R, como também o é o próprio R, ou subconjuntos contínuos de R.

Em forma de conjunto a propriedade acima pode ser escrita como:

I = {z ε R | x ≤ z ≤ y}

Os intervalos podem ser classificados por suas características topológicas – abertos, fechados e semi abertos (fechados ou abertos à esquerda ou à direita) – e por suas características métricas – comprimento nulo, finito não nulo ou infinito.

Notação em símbolos de um intervalo

Habitualmente se utilizam os colchetes – “[" e "]” – para indicar que um dos extremos do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses – “(” e “)” – ou, também, os colchetes invertidos – “]” e “[" para indicar o contrário.

Assim, por exemplo, dados a e b números reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa o conjunto dos x ε R, tal que a < x ≤ b. Note que a não faz parte do intervalo.

Representação de um intervalo na reta real

Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha cheia” para indicar que o ponto extremo pertence.

Tipos de Intervalos

Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como:

a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b – a:

[a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b}

b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito c = b – a:

[a,b[ = [a,b) = {x ε R | a ≤ x < b}

c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito c = b - a:

(a,b] = ]a,b] = {x ε R | a < x ≤ b}

d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b – a:

]a,b[ = (a,b) = {x ε R | a < x < b}

e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:

]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R | x < b}

f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:

]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R | x ≤ b}

g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:

[a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | a ≤ x}

h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito:

]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a}

i) Intervalo aberto de comprimento infinito:

]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R

j) Intervalo fechado de comprimento nulo:

Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.

Concluo a classificação dos intervalos com a seguinte pergunta para vocês: E o intervalo vazio como seria definido?

União e Intersecção de Intervalos

Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.

E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.

Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.

Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:

A ∩ B = {x ε R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x ε R | -1 ≤ x}

O motivo principal que me levou a desenvolver o aplicativo Questionarious foi uma necessidade específica do blog, qual seja, a de se ter um instrumento que facilitasse a publicação de posts relacionados a exercícios propostos e resolvidos de Matemática e que agregasse a possibilidade de interagir de forma mais efetiva com o leitor.

O objetivo referente ao instrumento facilitador foi alcançado. A outra parte … a se ver.

Mesmo que no desenvolvimento do aplicativo tenha imprimido o direcionamento apontado, penso que ele poderá ser útil para outras finalidades que não aquela. E nesse sentido passo a apresentar detalhes da versão por mim batizada de “Zen” em contraposição às tradicionais versões alfa ou beta e a disponibilizar um demo para teste, avaliação, sugestões e efetivo uso, a quem interessar possa, quando for liberada a versão para download.

A versão demo pode ser acionada através do link questionarious na barra de navegação localizada no topo da página e o login e senha de acesso são ambos a palavra consulta.

Principais Características do Aplicativo

• Desenvolvido em PHP e Javascript/Ajax com banco de dados MySql;
• Dispõe das opções Tabelas, Questionários, Perguntas, Respostas, Gabaritos, Soluções, Gerar Questionários, Avaliações e Usuários;
• Faz uso do editor tinyMCE, o mesmo do WP, em várias de suas opções;
• Totalmente construído com AJAX sem o uso de qualquer biblioteca, com exceção do método Effect.toggle da script.aculo.us version 1.6.4 e Prototype version 1.5.0_rc1, para exibir as soluções dos exercícios;
• Permite a construção de dois tipos de questionários, o de avaliação e o de pesquisa;
• Todas as críticas são feitas única e exclusivamente do lado do servidor;
• Como complemento, possui duas maneiras para se publicar os questionários no blog, após incluído via aplicativo, que serão descritas mais adiante.

O que ainda falta fazer na versão “Zen”

• Concluir a opção Tabelas que, no momento, dispõe apenas dos tipos de respostas – cadastradas no “braço – que são fundamentais para determinar o formato do questionário como um todo. Na sub-opção Tipo Resposta são exibidos os detalhes de sua composição;
• A opção Avaliações destinada a gravação e análise das respostas fornecidas pelos usuários, ou entrevistados ou pesquisados, ou sei mais lá o que. Por enquanto apenas computa a quantidade de pessoas que se dignaram a responder um dado questionário;
• O manual de instruções que normalmente dá um trabalho danado de fazer e quase ninguém lê. Em alguns formulários coloquei instruções de preenchimento de campo como um possível mecanismo a ser adotado, mas não o único. Veja lá e diga o que você acha: basta “encostar” o mouse no ícone com a letra “i”, quando você se deparar com um;
• Permitir a impressão do questionário em formato pdf. A opção Gerar Questionário, por enquanto, é utilizada para verificações e testes antes de sua publicação;
• O cadastro de usuários do sistema é ainda provisório e aproveitado de outra aplicação;
• Questões relacionadas à segurança das informações cadastradas;
• Acho que é isso. Mas se você encontrar algo não mencionado aqui me avise, por favor!

Problema não Resolvido

Como iniciei meus conhecimentos há pouco com o editor tinyMCE, e tive um trabalho danado para fazê-lo funcionar com o AJAX, em raras ocasiões no FF e mais frequentemente no IE, ele apresenta uma perda de foco – me parece ser esta a causa – que “trava” todo o formulário.

Minha desconfiança segue por essa direção, pelo menos por enquanto, uma vez que detectei que ao clicar em qualquer dos ícones do editor tudo volta ao normal.

Fica o registro na esperança de que possa ser ajudado na solução do problema.

Outras Informações

• Os questionários são individualizados por usuário. Ou seja, exibe apenas os montados por você com base no seu login;
• Contribui para a denominação “Zen” o fato de não ter construído um banco de perguntas e respostas – a forma correta -, mas sim perguntas e respostas por questionário. O que significa que para “aproveitar” uma pergunta contida em um questionário em outro só com os famosos Ctrl+C e Ctrl+V;
• Dêem um desconto, pois no meu caso o fato dificilmente acontece e meu objetivo era de desenvolver um aplicativo simples, em um primeiro instante e até sem o editor, para atender as necessidades mencionadas no início do post;
• A construção de um questionário segue a ordem estabelecida no menu superior do aplicativo.

Como Publicar o Questionário no WP

• Através de um plugin desenvolvido com base no WP-Polls, de GaMerz, cuja rotina utilizada para esse fim é de autoria de Robert Accettura. Um Exemplo é o Questionarious #2 – Conjuntos, onde o questionário é exibido “aberto”;
• A outra forma é através de um link que permite acionar via AJAX uma rotina em PHP do lado do servidor, cujo exemplo você pode ver no Questionarious #1 – Potenciação e Radiciação.

Considerações Finais

Como vocês viram “arriba” e nos questionários já publicados existem muitas coisas prontas e muitas a se fazer. No ponto em que está, pra mim é mais do que suficiente e atende perfeitamente minhas necessidades.

A razão de divulgá-lo é detectar se há interesse ou não da comunidade blogueira e não blogueira por um aplicativo do gênero e quem sabe angariar reforço para implantar as melhorias mencionadas e outras a serem, certamente, sugeridas.

Uma das idéias que me passa pela cabeça é a de construir um plugin para o WP em que o aplicativo possa ser utilizado diretamente em sua interface. Conheço pouco ainda do assunto para partir para esta empreitada, mas quem sabe alguém topa contribuir.

Estou inteiramente aberto (opa!) para compartilhar o experimento e fico aqui na expectativa do retorno de vocês.

Finalmente gostaria de agradecer a colaboração do Renato Bontempo do Bicho de Goiaba e do Náiron do El Micox.