Questionarious / Exercícios Resolvidos

Alguns autores de blog, e com certa frequência o Cardoso, do Contraditorium, têm escrito sobre o fato da enorme maioria dos visitantes não passar da leitura do primeiro parágrafo de um artigo e às vezes, nem isso, para a partir daí escreverem comentários sem sentido ou fora de contexto, numa clara demonstração de analfabetismo funcional, recentemente confirmada por pesquisa do IBOPE.

Com o objetivo de sondar que nem a leitura é feita por essa enorme maioria, publiquei dois posts com questionários contendo exercícios propostos/resolvidos de Matemática que podem ser respondidos online e com o devido controle do número de respostas consignadas:

• Q1 – Questionário com exercícios sobre Potenciação e Radiciação onde se tem um texto, não muito extenso, que no final disponibiliza um link para que possa ser exibido;
• Q2 – Questionário com exercícios sobre Conjuntos que é exibido em toda sua plenitude quando o post é acessado.

A quem interessar, os links de acesso aos questionários Q1 – este com as modificações indicadas no último parágrafo – e Q2 encontram-se no final do post.

Como se vê, o contexto em que o exercício de sondagem ocorre é bem específico, e, é de se supor, com um grau significativo de certeza, que quem chegou aos posts estava interessado no assunto abordado.

Para minha surpresa (oh!), apesar do post que contem Q1 ter sido publicado seis dias antes e ter uma visitação superior a duas vezes ao de Q2, o número de leitores que responderam Q1, ou para sermos mais precisos, que clicaram no botão enviar dos questionários, é nitidamente inferior, em termos absolutos e relativos, aos que fizeram o mesmo com Q2.

Veja concretamente os dados no momento da publicação deste post:

• Q1 – 1877 visitas e 15 respostas que corresponde a 0,8% de seus visitantes;
• Q2 – 887 visitas e 150 respostas que corresponde a 16,91% de seus visitantes e a 10 vezes, em valores absolutos, o número de respostas de Q1.

A partir dos dados apresentados – onde se deve considerar que estão embutidos as visitas dos famosos robots – não se pode inferir com certeza absoluta que a causa da baixa ocorrência de respostas de Q1 se deva aos pressupostos inicialmente colocados.

Mas, convenhamos, caracteriza um sintoma, até certo ponto com um grau de malignidade elevado, ainda mais se é agregado o fato de que as estatísticas do blogViche não apontam cliques significativos no link disponibilizado em Q1.

Ou seja, uma conclusão viável é que a baixa ocorrência pode significar que os visitantes ao não se depararem com os exercícios de imediato, não lêem o texto e portanto não abrem sequer o questionário.

Ou, por outro lado, que os públicos dos questionários apresentem características diferenciadas (idade, nível de escolaridade, por exemplo) que influam diretamente na distorção apontada, ou, até mesmo, que as questões formuladas são menos interessantes para o publico de Q1.

Mas independentemente dessas colocações, o que fazer para, pelo menos, tentar aumentar o grau de confiabilidade da sondagem na direção inicialmente apontada? Penso que publicando novamente Q1 da mesma forma que feito para Q2 e acompanhar o comportamento do “novo” questionário e voltar a comparar.

É óbvio que o exercício pode, simplesmente, resultar em nada conclusivo, mas que o fato me pareceu estranhamente inconsistente, vá lá, pareceu, e penso merecer a tentativa da investigação.

Não espalhem, mas o “novo questionário” já se encontra no ar. Apenas coloquei o questionário Q1 “aberto” no início do post e mantive o texto original logo abaixo.

O motivo principal que me levou a desenvolver o aplicativo Questionarious foi uma necessidade específica do blog, qual seja, a de se ter um instrumento que facilitasse a publicação de posts relacionados a exercícios propostos e resolvidos de Matemática e que agregasse a possibilidade de interagir de forma mais efetiva com o leitor.

O objetivo referente ao instrumento facilitador foi alcançado. A outra parte … a se ver.

Mesmo que no desenvolvimento do aplicativo tenha imprimido o direcionamento apontado, penso que ele poderá ser útil para outras finalidades que não aquela. E nesse sentido passo a apresentar detalhes da versão por mim batizada de “Zen” em contraposição às tradicionais versões alfa ou beta e a disponibilizar um demo para teste, avaliação, sugestões e efetivo uso, a quem interessar possa, quando for liberada a versão para download.

A versão demo pode ser acionada através do link questionarious na barra de navegação localizada no topo da página e o login e senha de acesso são ambos a palavra consulta.

Principais Características do Aplicativo

• Desenvolvido em PHP e Javascript/Ajax com banco de dados MySql;
• Dispõe das opções Tabelas, Questionários, Perguntas, Respostas, Gabaritos, Soluções, Gerar Questionários, Avaliações e Usuários;
• Faz uso do editor tinyMCE, o mesmo do WP, em várias de suas opções;
• Totalmente construído com AJAX sem o uso de qualquer biblioteca, com exceção do método Effect.toggle da script.aculo.us version 1.6.4 e Prototype version 1.5.0_rc1, para exibir as soluções dos exercícios;
• Permite a construção de dois tipos de questionários, o de avaliação e o de pesquisa;
• Todas as críticas são feitas única e exclusivamente do lado do servidor;
• Como complemento, possui duas maneiras para se publicar os questionários no blog, após incluído via aplicativo, que serão descritas mais adiante.

O que ainda falta fazer na versão “Zen”

• Concluir a opção Tabelas que, no momento, dispõe apenas dos tipos de respostas – cadastradas no “braço – que são fundamentais para determinar o formato do questionário como um todo. Na sub-opção Tipo Resposta são exibidos os detalhes de sua composição;
• A opção Avaliações destinada a gravação e análise das respostas fornecidas pelos usuários, ou entrevistados ou pesquisados, ou sei mais lá o que. Por enquanto apenas computa a quantidade de pessoas que se dignaram a responder um dado questionário;
• O manual de instruções que normalmente dá um trabalho danado de fazer e quase ninguém lê. Em alguns formulários coloquei instruções de preenchimento de campo como um possível mecanismo a ser adotado, mas não o único. Veja lá e diga o que você acha: basta “encostar” o mouse no ícone com a letra “i”, quando você se deparar com um;
• Permitir a impressão do questionário em formato pdf. A opção Gerar Questionário, por enquanto, é utilizada para verificações e testes antes de sua publicação;
• O cadastro de usuários do sistema é ainda provisório e aproveitado de outra aplicação;
• Questões relacionadas à segurança das informações cadastradas;
• Acho que é isso. Mas se você encontrar algo não mencionado aqui me avise, por favor!

Problema não Resolvido

Como iniciei meus conhecimentos há pouco com o editor tinyMCE, e tive um trabalho danado para fazê-lo funcionar com o AJAX, em raras ocasiões no FF e mais frequentemente no IE, ele apresenta uma perda de foco – me parece ser esta a causa – que “trava” todo o formulário.

Minha desconfiança segue por essa direção, pelo menos por enquanto, uma vez que detectei que ao clicar em qualquer dos ícones do editor tudo volta ao normal.

Fica o registro na esperança de que possa ser ajudado na solução do problema.

Outras Informações

• Os questionários são individualizados por usuário. Ou seja, exibe apenas os montados por você com base no seu login;
• Contribui para a denominação “Zen” o fato de não ter construído um banco de perguntas e respostas – a forma correta -, mas sim perguntas e respostas por questionário. O que significa que para “aproveitar” uma pergunta contida em um questionário em outro só com os famosos Ctrl+C e Ctrl+V;
• Dêem um desconto, pois no meu caso o fato dificilmente acontece e meu objetivo era de desenvolver um aplicativo simples, em um primeiro instante e até sem o editor, para atender as necessidades mencionadas no início do post;
• A construção de um questionário segue a ordem estabelecida no menu superior do aplicativo.

Como Publicar o Questionário no WP

• Através de um plugin desenvolvido com base no WP-Polls, de GaMerz, cuja rotina utilizada para esse fim é de autoria de Robert Accettura. Um Exemplo é o Questionarious #2 – Conjuntos, onde o questionário é exibido “aberto”;
• A outra forma é através de um link que permite acionar via AJAX uma rotina em PHP do lado do servidor, cujo exemplo você pode ver no Questionarious #1 – Potenciação e Radiciação.

Considerações Finais

Como vocês viram “arriba” e nos questionários já publicados existem muitas coisas prontas e muitas a se fazer. No ponto em que está, pra mim é mais do que suficiente e atende perfeitamente minhas necessidades.

A razão de divulgá-lo é detectar se há interesse ou não da comunidade blogueira e não blogueira por um aplicativo do gênero e quem sabe angariar reforço para implantar as melhorias mencionadas e outras a serem, certamente, sugeridas.

Uma das idéias que me passa pela cabeça é a de construir um plugin para o WP em que o aplicativo possa ser utilizado diretamente em sua interface. Conheço pouco ainda do assunto para partir para esta empreitada, mas quem sabe alguém topa contribuir.

Estou inteiramente aberto (opa!) para compartilhar o experimento e fico aqui na expectativa do retorno de vocês.

Finalmente gostaria de agradecer a colaboração do Renato Bontempo do Bicho de Goiaba e do Náiron do El Micox.

[Atualização: 06/03/2007]:

As soluções dos exercícios foram disponibilizadas no questionário. Para vê-las proceda como indicado no texto abaixo.

[/Atualização]

É com grande prazer e satisfação que inauguro mais uma categoria de artigos, se é que se pode dizer assim, a Questionarious.

Consistirá de exercícios propostos sobre as matérias tratadas no Viche em forma de um questionário, com perguntas e respostas de múltipla escolha onde você terá condições de testar seus conhecimentos ao vivo e a cores. Ou seja, você resolve as questões, responde diretamente no questionário e obtém o resultado de sua avaliação clicando no botão “enviar” exibido em seu final.

O primeiro questionário é composto de cinco exercícios sobre potenciação e cinco sobre radiciação.

Ao final de cada pergunta você observará que é mostrado um ícone em forma de uma lâmpada que se destina a fornecer a sua solução. É claro que, por enquanto, você não terá essa facilidade disponível. Será preciso que você tente, primeiro, resolver.

A idéia é que após quinze dias, a contar da data de publicação do questionário, as soluções sejam divulgadas. Achou pouco ou muito, diz aí nos comentários!

No entanto, como “canja” e para você ter idéia de como as soluções serão apresentadas, estou disponibilizando, de imediato, os resultados da primeira e da sétima questão. Seja forte e resista à tentação de “espiar” sem antes tentar resolvê-las. A recomendação é para seu próprio bem :-).

Somente a título de conhecimento, o Questionarious é um aplicativo desenvolvido por mim em PHP, MySQL, JavaScript e AJAX com um pouco de CSS. Para a turma que “mexe” na área, informo que logo, logo, estarei liberando a versão “Zen” em forma de demonstração.

Chega de conversa e vamos ao que interessa: Clique aqui para exibir o questionário e bom teste.

No quarto número do Exercícios Resolvidos vamos colocar em prática a teoria apresentada no artigo sobre Logaritmo, o qual, sugiro, você deve consultar em caso de dúvidas, uma vez que serão apenas mencionadas as propriedades ali abordadas.

Exercício 1: Se log_aba = 4, calcule:

Solução:

Reescrevendo a expressão com o uso das propriedades dos logaritmos indicadas abaixo do sinal de igualdade, temos que:

Por outro lado, da condição inicial do exercício e da definição de logaritmo vem:

log_aba = 4 => a = (ab)⁴ => a = a⁴b⁴ => b⁴ = 1/a³ => b = (1/a³)^1/4 = 1/a^3/4

Observe que acima foi considerado, apenas, o valor real de b maior do que zero na extração da raiz de índice 4 (condição de existência do logaritmo)

Substituindo o valor de b em log_abb na expressão [1]:

Exercício 2: Se a, b e c são reais positivos com a diferente de 1 e ac diferente de 1, prove que:

log_ab = log_acb(1 + log_ac)

Solução:

Note que a expressão do lado direito da igualdade possui um logaritmo na base ac. Assim, nada mais natural do que efetuarmos, incialmente, a mudança para essa base (L4) na expressão do lado esquerdo da igualdade. Assim:

Por raciocínio semelhante ao anterior, fazendo a mudança de base no denominador da fração para a base a, obtemos:

E, substituindo [2] em [1]:

Exercício 3: Se a e b são raízes da equação x² – px + q = 0 (p, q > 0 e q diferente de 1), demonstre que:

log_qa^a + log_qb^b + log_qa^b + log_qb^a = p

Solução:

Aplicando a propriedade L3 ao primeiro membro da igualdade (definimos como A) vem:

A = alog_qa + blog_qb + blog_qa + alog_qb

Colocando os termos comuns em evidência:

A = (a + b)log_qa + (a + b) log_qb => A = (a + b)( log_qa + log_qb)

E, pela propriedade L1:

A = (a + b) log_qab [1]

Como todos vocês sabem (espero) que em uma equação do segundo grau mx² + nx + k = 0 a soma e o produto de suas raízes valem, respectivamente:

S = -n/m e P = k/m

vem, pelas condições iniciais do exercício, que:

a + b = p e a.b = q

Substituindo esses valores em [1]:

A = plog_qq = p

Exercício 4: Se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo retângulo de hipotenusa de medida a e sabendo que a – b e a + b são diferentes de 1, demonstre que:

log_a+bc + log_a-bc = 2log_a+bc.log_a-bc

Solução:

Como o triângulo é retângulo, pelo Teorema de Pitágoras:

Efetuando a mudança de base (de a + b para a – b) da primeira parcela:

E substituindo no primeiro membro da igualdade a ser demonstrada:

E, por fim, de [1] e [2] vem que:

Exercício 5: Demonstrar que:

Solução:

A demonstração é consequência da propriedade L4 (mudança de base):

O exercício foi incluído, apesar de simples, por não ter sido tratado nas consequências da propriedade L4 do artigo sobre Logaritmo.

Exercício 6: Se a, b e c são reais positivos e diferentes de um e a = b.c, prove que:

Solução:

Pela propriedade L4 (mudança de base) temos:

Da condição inicial, aplicando-se o logaritmo na base b, obtemos:

log_ba = log_bbc = log_bb + log_bc = 1 + log_bc [2]

Substituindo [2] em [1]:

Referência:

1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977.

Exercícios resolvidos sobre Radiciação com o objetivo de fixar os conceitos e as propriedades já tratadas no artigo de mesmo nome. Inicia com a questão do leitor identificado como HENRIQUE (comentário #33) sobre raiz de índice m da raiz de índice n ou como dito por ele, radical duplo.

Em seguida, serão resolvidos outros exercícios em que procuro cobrir todas as propriedades esboçadas no texto teórico acima mencionado. Em caso de dúvidas leia o artigo cujas propriedades serão aqui apenas assinaladas por P1, P2, …, P7 quando usadas.

Exercício 1: A raiz de índice m de uma raiz de índice n de a é igual à raiz de índice mn de a:

O que a propriedade diz? Diz que o resultado é o mesmo se você calcula a raiz de índice n de a e depois a raiz de índice m do valor obtido dessa operação ou se você calcula, diretamente, a raiz de índice mn de a. Faça esses cálculos com a raiz cúbica da raiz quadrada de 64 e a raíz sexta de 64, e veja que o resultado obtido é igual a 2 em ambos os casos.

Solução 1:

Primeiro, lembro a seguinte propriedade de potenciação: em uma igualdade ao se elevar ambos os seus membros à uma potência de grau m ela não se altera. Desse fato e supondo que:

vem (elevando ambos os membros à potência m) que:

e pela definição de radiciação:

o que conclui a demonstração.

Solução 2:

Uma outra maneira de demonstrar a propriedade (P5) é através da aplicação da propriedade P7:

Exercício 2: Calcular

Solução:
Para facilitar a explicação, e consequentemente o entendimento, vamos, inicialmente, tratar separadamente cada membro da expressão, onde se indicam as propriedades utilizadas em cada passagem:

Assim de 1, 2 e 3 obtemos:

Exercício 3: (UFCE) Simplificar a expressão:

Solução:

Exercício simples que se baseia na decomposição em fatores primos de cada radicando e da utilização da propriedade P1, como você pode observar no detalhamento a seguir. Tenha em conta que na soma ou subtração de radicais, cada parcela deve ser considerada isoladamente para se obter o resultado de uma expressão. Ou seja, não se aplica que a soma de duas raízes de mesmo índice é igual a raiz da soma, como é o caso do produto, por exemplo.

Exercício 4: Calcular o quociente:

Solução:

Outro exercício de solução simples onde demonstro o uso das propriedades P1 e P3, e novamente, faço uso da decomposição em fatores primos dos radicandos:

Exercício 5: Escrever em ordem de grandeza crescente os radicais:

Solução:

Para fazer a comparação entre os radicais devemos, inicialmente, reduzí-los ao mesmo índice. Isto é feito calculando o mínimo múltiplo comum (mmc) dos índices e, após, aplicando a propriedade P6. O mmc(2, 4, 3, 6) = 12 e reescrevendo os radicais (P6) vem:

Agora, basta considerar a ordem dos radicandos para estabelecer a ordem crescente dos radicais:

Exercício 6: Efetuar

Solução:

Esboçada a seguir, onde utilizamos o fato de que o produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo (produto notável – PN) e as propriedades da Radiciação indicadas:

Com este artigo, a Parte III, estamos concluindo o tema Progressões. As Partes I e II se referem à teoria sobre Sequência e PA e PG, respectivamente, que podem ser consultadas, caso seja necessário, para um melhor entendimento das soluções dos exercícios a seguir.

Os sete primeiros exercícios foram extraídos do sítio Vestibulando Web e suas respostas estão indicadas em negrito. Na mesma página você encontra outros exercícios interessantes, não resolvidos aqui e nem lá, para que você teste seus conhecimentos.

Exercício 1: (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:

a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18

Solução:

Sejam (a₁, a₂, a₃, …) a PA de razão r e (g₁, g₂, g₃, …) a PG de razão q. Temos como condições iniciais:

(1) a₁ = g₁ = 4

(2) a₃ > 0, g₃ > 0 e a₃ = g₃

(3) a₂ = g₂ + 2

Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:

(4) a₃ = a₁ + 2r e g₃ = g₁.q² => 4 + 2r = 4q²

(5) a₂ = a₁ + r e g₂ = g₁.q => 4 + r = 4q + 2

Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem:

(5) => r = 4q + 2 – 4 => r = 4q – 2

(4) => 4 + 2(4q – 2) = 4q² => 4 + 8q – 4 = 4q² => 4q² – 8q = 0

=> q(4q – 8) = 0 => q = 0 ou 4q – 8 = 0 => q = 2

Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5):

r = 4q – 2 => r = 8 – 2 = 6

Para concluir calculamos a₃ e g₃:

a₃ = a₁ + 2r => a₃ = 4 + 12 = 16

g₃ = g₁.q² => g₃ = 4.4 = 16

Exercício 2: (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:

a) [– 2, –1]
b) [– 1, 0]
c) [0, 1]
d) [1, 2]
e) [2, 3]

Solução:

Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação da definição de PA):

(1) -5n = 2 + 3n + r

(2) 1 – 4n = -5n + r

Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):

(1) => r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2

(2) => 1 – 4n = -5n – 8n – 2 => 1 – 4n = -13n – 2

=> 13n – 4n = -2 – 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3

Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b).

Exercício 3: (PUC-SP/2003) Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se a_n, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a₃₀ + a₅₅ é igual a:

a) 58
b) 59
c) 60
d) 61
e) 62

Solução:

Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 – (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 – (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato:

(1) a_i = a₁ + (i – 1).1 = a₁ + i – 1

Para determinar a₃₀ + a₅₅ precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsicamente relacionada às duas progressões da seguinte forma:

• Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i – 1, ou seja, i = (n + 1)/2;
• se n é par temos n = 2i ou i = n/2.

Daqui e de (1) obtemos que:

a_n = 10 + [(n + 1)/2] – 1 se n é ímpar

a_n = 8 + (n/2) – 1 se n é par

Logo:

a₃₀ = 8 + (30/2) – 1 = 8 + 15 – 1 = 22

e

a₅₅ = 10 + [(55 + 1)/2] – 1 = 37

E portanto:

a₃₀ + a₅₅ = 22 + 37 = 59

Exercício 4: (UFSCAR/2000) A condição para que três números a, b e c estejam, simultaneamente, em progressão aritmética e em progressão geométrica é que:

a) ac = b²
b) a + c = 2
c) a + c = b²
d) a = b = c
e) ac = 2b

Solução:

A condição para que a, b e c sejam ao mesmo tempo uma PA de razão r e uma PG de razão q é:

(1) b = a + r = aq => r = a(q – 1)

(2) c = b + r = bq => r = b(q – 1)

De (1) e (2) vem:

a(q – 1) = b(q – 1) => (a – b)(q – 1) = 0

Para que o produto seja igual a zero:

ou a – b = 0 ou q – 1 = 0 ou ambas => ou a = b ou q = 1 ou ambas

Como se trata de uma PG se a é igual a b, necessariamente q = 1. A recíproca também é verdadeira, isto é, se q = 1 então a = b. Logo a = b e q = 1. Daqui, de (1) e de (2) segue que r = 0 e b = c = a.

Exercício 5: (UFLA/99) A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:

a) 3,1
b) 3,9
c) 3,99
d) 3,999
e) 4

Solução:

Sejam S a soma dos elementos da sequência e S₁ a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de razão q = 10^-1 = 0,1. Assim:

S = 3 + S₁

Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S₁:

S₁ = 0,9/(1 – 0,1) = 0,9/0,9 = 1 => S = 3 + 1 = 4

Exercício 6: (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:

a) 3,0
b) 1,0
c) 1,5
d) -1,5
e) -3,0

Solução:

Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA:

S₂₀ = 20( a₁ + a₂₀)/2 = -15

Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos, uma vez que:

15 + 6 = 20 + 1 = 21

E, portanto:

a₆ + a₁₅ = a₁ + a₂₀

Substituindo este valor na primeira igualdade vem:

20(a₆ + a₁₅)/2 = -15 => 10(a₆ + a₁₅) = -15

=> a₆ + a₁₅ = -15/10 = -1,5

Exercício 7: (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e -24, tomados nessa ordem, é:

a) -48
b) -96
c) 48
d) 96
e) 192

Solução:

Para determinar os dois meios geométricos da PG cujos extremos são 3 e -24 precisamos calcular, primeiro, sua razão q, com n = 4. Pela fórmula do termo geral temos que:

a₄ = a₁.q^4-1 => -24 = 3q³ => q³ = -24/3 = -8 => q = -2

Logo a PG é (3; -6; 12; -24; …) e seu sexto termo é obtido, também, através da fórmula do termo geral:

a₆ = a₁q^6-1 => a₆ = 3(-2)⁵ = -3.32 = -96

Os exercícios 8 e 9 a seguir foram propostos pelo leitor Watson Meyer, no comentário 17 do artigo sobre Potenciação.

Exercício 8: Sendo S_n a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a₁ = 6, determine n tal que S_n é igual a 1456.

Solução:

Sabemos que:

(1) S_n = (a₁ + a_n)n/2 = (6 + a_n)n/2 = 1456 => (6 + a_n)n = 2912

Para determinar n basta expressarmos a_n em função de n, o que é feito através da fórmula do termo geral de uma PA:

(2) a_n = 6 + (n – 1).4 = 6 + 4n – 4 = 4n + 2

Substituindo (2) em (1):

(6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n² + 8n – 2912 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:

n₁ = 26 e n₂ = -28

Como n > 0, a resposta é 26.

Exercício 9: A soma dos infinitos termos da P.G (x/2; x²/4; x³/8; …) é igual a 1/10. Qual o valor de x?

Solução:

Note que, pela lei de formação da PG, a razão é q = x/2. Como uma PG infinita converge somente se -1 < q < 1, o valor de x deve ser tal que esta condição seja satisfeita. Aplicando, então, a fórmula da soma vem que:

Para que a solução esteja completa falta verificar se q satisfaz a condição de convergência:

Como -1 < q < 1 a solução está concluída e x = 2/11.

Para finalizar a matéria, vamos resolver o último exercício extraído do livro Matemática para o Ensino Médio de Manoel Jairo Bezerra.

Exercício 10: As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3. Calcule essas medidas.

Solução:

Sejam a, b e c as medidas dos lados do triângulo, onde a é a hipotenusa, b a base e c o outro lado. Como eles estão em PA, (b; c; a) nesta ordem, de razão 3 vem que:

b = a – 6 e c = a – 3

Por outro lado, do Teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, temos que:

a² = b² + c² => a² = (a – 6)² + (a – 3)²

Resolvendo os produtos notáveis:

a² = a² – 12a + 36 + a² – 6a + 9 = 2a² – 18a + 45

=> a² – 18a + 45 = 0 => a = 15 e a = 3

Mas a não pode ser igual 3, uma vez que teríamos c = 0 e b = -3, o que contradiz claramente o fato de serem medidas dos lados de um triângulo retângulo. Logo:

a = 15 => b = 15 – 6 = 9 e c = 15 – 3 = 12

E a PA é:

(9; 12; 15).

O VICHE inaugura uma nova categoria de artigos, denominada Exercícios Resolvidos, sobre um dos primeiros assuntos aqui tratado. O objetivo é fixar, com a prática, o conceito e as propriedades de potenciação abordados de forma teórica.

Os exercícios, todos com solução simples, são, com execeção do 5, do livro Praticando Matemática, de Álvaro Andrini, 8a. Série, Editora do Brasil S/A, São Paulo, propostos em sua seção TESTES e se reportam a questões aplicadas em várias Instituições de Ensino, indicadas entre parêntesis.

Nas soluções dos exercícios serão mencionadas as propriedades pela letra utilizada no artigo sobre potenciação .

Exercício 1: (PUC-SP) O número de elementos distintos da sequência 2⁴, 4², 4^-2 (-4)², (-2)⁴, (-2)^-4 é:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4

Solução:

Para determinar o número de elementos distintos é suficiente que calculemos cada um deles. Assim temos:

• 2⁴ = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
• 4² = 4 x 4 = 16
• 4^-2 = 1/ 4² = 1/16 (uso da propriedade e) do artigo sobre potenciação)
• (-4)² = (-4) x (-4) = 16 (potência par de base negativa tem como resultado um número positivo)
• (-2)⁴ = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 16 (idem)
• (-2)^-4 = 1/(-2)⁴ = 1/16 (uso da propriedade e) do artigo sobre potenciação)

Portanto, se conclui que existem dois elementos distintos (16 e 1/16) e a resposta correta é a b).

Exercício 2: (FEI-SP) O valor da expressão A = (-2) + (-3) x (-2)^-1:(-3) é:

a) 1
b) -5/6
c) -5/3
d) -5/2

Solução:

Todos sabem, após a leitura atenta do artigo sobre potenciação – propriedade e) -, que (-2)^-1 = -1/2. Logo:

A = (-2) + (-3) x (-1/2) : (-3) = (-2) + (3/2) : (-3) = (-2) – [3/(2 x 3)]

Cancelando o 3 na expressão entre colchetes (note que nas passagens das igualdades acima foram utilizadas as propriedades do produto de números relativos de mesmo sinal e a divisão de números relativos com sinais diferentes – lembram-se!):

A = (-2) – 1/2 = (-4 – 1)/2 = -5/2

Resposta d).

Exercício 3: (FEI-SP) O valor da expressão B = 5 . 10⁸ . 4 . 10^-3 é:

a) 20⁶
b) 2 . 10⁶
c) 2 . 10⁹
d) 20 . 10^-4

Solução:

Como em um produto a ordem dos fatores não altera o resultado, podemos reescrever B como:

B = 5 . 4 . 10⁸ . 10^-3 = 20 . 10⁸ . 10^-3 = 20 . 10^8-3

Na última passagem utilizamos a propriedade b). E para finalizar, com o uso novamente da mesma propriedade:

B = 2 . 10 . 10⁵ = 2 . 10¹⁺⁵ = 2 . 10⁶

Resposta b).

Exercício 4: (PUC-SP) O valor da expressão C = (10^-3 x 10⁵) / (10 x 10⁴) é:

a) 10
b) 1000
c) 10^-2
d) 10^-3

Solução:

Novamente, pela propriedade b) vem que:

C = 10^-3+5 / 10¹⁺⁴ = 10² / 10⁵

E, pela propriedade c) temos:

C = 10^2-5 = 10^-3

Resposta d).

Exercício 5: Se 5^3a = 64, o valor de 5^-a é:

a) 1/4
b) 1/40
c) -1/4
d) 1/20

Inicialmente, observe que pela propriedade d):

Como os expoentes das potências são iguais, necessariamente também são suas bases. Ou se você preferir, extraindo-se a raiz cúbica dos termos, obtemos:

5^a = 2² = 4

Invertendo os membros da igualdade vem:

1/5^a = 1/4

E finalmente, pela propriedade e):

5^-a = 1/4

Resposta a).