Matemática

Quem disse que com os dedos das mãos só podemos contar até dez?

E se eu afirmar que você pode contar até 1023?

E, além disso, se acrescentarmos os dedos dos pés podemos contar até 1.040.575?

Você acreditaria?

Não! Então veja aqui como (em inglês, sorry!): Instructables

Quer saber o que se pode fazer mais com os dedos (em português)? Será que eu preciso dizer para clicar no link da pergunta anterior? Acho que não, a curiosidade é uma “coisa” irresistível :-).

O Viche tem recebido visitas a partir de pesquisas efetuadas no Google com o termo triângulo em função dos artigos publicados sobre Tecelagem Popular no Triângulo Mineiro. Assim, com o objetivo de atender esse indicativo presente nas estatísticas do blog passo a escrever sobre conceitos relacionados ao termo mencionado: mais especificamente sobre Semelhança entre Triângulos.

Antes, vamos definir o que é congruência entre triângulos.

Congruência entre Triângulos

Dois triângulos (ou de forma geral, duas figuras planas) são congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões, ou seja, o mesmo tamanho.

Já a semelhança entre triângulos, objeto do artigo, aborda o conceito mais amplo onde se tem triângulos com a mesma forma, mas não necessariamente com o mesmo tamanho. Em outras palavras, congruência é um caso particular de semelhança entre triângulos no sentido de que se dois triângulos são congruentes necessariamente eles são semelhantes, mas o contrário não é verdadeiro, como você observará daqui em diante.

Definição de Semelhança entre Triângulos

Dizemos que dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem seus três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos (homo = mesmo, logos = lugar) proporcionais.

Traduzindo a definição em símbolos:

Observe que as três primeiras expressões entre os parêntesis indicam a congruência ordenada dos ângulos e a última a proporcionalidade dos lados homólogos.

Em bom português, podemos, ainda, definir a semelhança entre triângulos através da frase: dois triângulos são semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro (caso deseje comprovar veja o programa em Java descrito abaixo).

Razão de Semelhança

Denominamos o número real k, que satisfaz as igualdades abaixo entre os lados homólogos, como a razão de semelhança dos triângulos:

Para uma idéia melhor dos conceitos acima sugiro uma visita ao programa em Java de Karlos Gomes. A imagem inicial da página é apresentada a seguir, onde temos dois triângulos entre um feixe de três retas com origem no ponto C. Ao arrastar o triângulo rosa para cima ou para baixo, o ponto em vermelho no segmento de reta indica o valor da razão de semelhança correspondente. Ao colocar o triângulo rosa exatamente sobre o verde você observará que a razão de semelhança é igual a 1, como era de se esperar (você sabe dizer o significado deste fato?).

O único problema é que o programa demora a carregar. Tenha um pouco de paciência, e espere, vale a pena. Após, por favor, retorne a este artigo :-).

Exemplo

Dados os triângulos ABC e DEF semelhantes com as medidas dos lados indicadas abaixo, calcule as medidas dos lados e e d do segundo triângulo.

Solução:

Como os triângulos são semelhantes por hipótese, vem, pela razão de semelhança, que:

c = kf => k = c/f => k = 4/8 = 1/2

De forma análoga:

a = kd => 8 = (1/2)d => d = 16

b = ke => 6 =(1/2)e => e = 12

Propriedades

a) Reflexiva: Todo triângulo é semelhante a si próprio.

b) Simétrica: Se um triângulo é semelhante a um outro, este é semelhante ao primeiro.

c) Transitiva: Se um triângulo é semelhante a um segundo e este é semelhante a um terceiro, então o primeiro é semelhante ao terceiro.

Teorema Fundamental

Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.

A demonstração do Teorema Fundamental é feita a partir do Teorema de Tales, que por sua vez pode ser demonstrado a partir dos critérios de semelhança definidos abaixo (fica como exercício).

Se um feixe de retas paralelas tem duas transversais, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma é igual à razão entre os segmentos correspondentes na outra.

Demonstração do Teorema Fundamental:

A demonstração da congruência dos ângulos dos triângulos ABC e ADE (figura abaixo) decorre do fato de que ângulos correspondentes determinados por duas paralelas são congruentes. Assim, o ângulo B é congruente ao D e o ângulo C é congruente ao E. Como o ângulo A é comum aos dois triângulos concluímos a primeira parte da demonstração.

Pelo Teorema de Tales temos que:

m(AD)/m(AB) = m(AE)/m(AC) [1]

Por E construímos a reta EF paralela a BD, conforme indicado na figura acima. Do paralelogramo BDEF temos que m(DE) = m(BF). E, novamente, pelo Teorema de Tales:

m(AE)/m(AC) = m(BF)/m(BC) => m(AE)/m(AC) = m(DE)/m(BC) [2]

De [1] e [2] vem que os lados homólogos são proporcionais, o que conclui a demonstração.

Observação: Nos termos do tipo m(AE), utlizados acima, imagine uma barra sobre AE para se ter a notação correta conforme indicado anteriormente.

Critérios de Semelhança de Triângulos

Critério AA => Ângulo-Ângulo: Se dois triângulos têm dois ângulos internos correspondentes congruentes, então os triângulos são semelhantes.

Demonstração:

No caso dos dois triângulos serem congruentes, nada há a demonstrar, pois por definição de congruência os triângulos são necessariamente semelhantes. Suponhamos, então, como indicado na figura, o triângulo ABC maior que o triângulo DEF e construamos o triângulo AGH tal que a medida do lado AG seja igual à medida do lado DE, o ângulo G congruente ao ângulo E e H sobre o lado AC.

Além disso, como o ângulo A é congruente ao ângulo D, por hipótese, o triângulo AGH é congruente ao triângulo DEF (critério ALA da congruência entre triângulos) e portanto semelhantes.

Por outro lado, pelo Teorema Fundamental, temos que o triângulo AGH é semelhante ao triângulo ABC, já que o lado GH é paralelo ao lado BC. E, finalmente, como o triângulo ABC é semelhante ao triângulo AGH, e AGH, por sua vez, é semelhante a DEF, concluímos, pela propriedade transitiva, que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF.

As demonstrações dos demais critérios ficam como exercício.

Critério AAA => Ângulo-Ângulo-Ângulo: Se os ângulos de um triângulo forem respectivamente congruentes aos ângulos correspondentes de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.

Critério LAL => Lado-Ângulo-Lado: Se as medidas de dois dos lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos do outro triângulo e os ângulos determinados por estes lados são congruentes, então os triângulos são semelhantes.

Critério LLL => Lado-Lado-Lado: Se as medidas dos lados de um triângulo são respectivamente proporcionais às medidas dos lados correspondentes de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.

Teorema de Pitágoras

Um triângulo é denominado retângulo se um de seus ângulos é reto, ou seja, tem 90 graus. O lado de maior medida é denominado hipotenusa (a) e os outros dois lados de catetos (b e c).

Pitágoras estabeleceu, então, em seu mais famoso teorema que: O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos, i.e.:

a² = b² + c²

Para finalizar o artigo com chave de ouro vamos demonstrar o Teorema de Pitágoras com o uso dos critérios de semelhança.

Demonstração:

Observe que os triângulos ABH e ABC são semelhantes como decorrência do critério AA, uma vez que ambos possuem um ângulo reto e o ângulo B em comum. Daí tiramos a seguinte relação entre os lados homólogos:

c/a = m/c => c² = a.m => c² = a.(a – n) => c² = a² – an [1]

Pela mesma razão os triângulos AHC e ABC são semelhantes. Logo:

b/a = n/b => b² = an [2]

Substituindo [2] em [1] vem que:

c² = a² – b² => a² = b² + c².

A potenciação nos fornece um meio simples, prático e rápido para calcularmos a potência de grau 2 de um número inteiro, comumente conhecida como o quadrado desse número.

Como todos sabem, o meio em questão, corresponde ao produto (multiplicação) do número por ele mesmo, ou seja:

5² = 5 x 5 = 25

Mas, Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo, inventou uma regra diferente (e um pouco mais complicada, convenhamos) para obter o resultado da potência de grau 2 de um número, que consiste em:

O quadrado de um número inteiro n é igual a soma dos n primeiros números inteiros ímpares.

Para números pequenos vemos, facilmente, que a afirmação é verdadeira, através do uso direto do enunciado. Vejam:

• 1² = 1 (n = 1)
• 2² = 1 + 3 = 2 x 2 = 4 (n = 2)
• 5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 x 5 = 25 (n = 5)
• 7² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 7 x 7 = 49 (n = 7)

E como saber que a afirmação é válida para o número 5.227, por exemplo? No “braço” é extremamente trabalhoso comprovar, pois teríamos que somar os primeiros 5.227 números inteiros ímpares e, após, verificar que o resultado é igual ao quadrado de 5.227.

No entanto, se observarmos com um pouquinho mais de atenção veremos que a sequência formada pelos primeiros n números ímpares:

(1, 3, 5, 7, …., a_n)

é uma Progressão Aritmética (PA) de razão r = 2, onde a_n representa o enésimo termo ou o enésimo número ímpar.

Desse fato é suficiente, agora, utilizarmos das propriedades de uma PA. Mais especificamente das fórmulas do termo geral e da soma dos termos de uma PA finita, para demonstrarmos que Pitágoras esta com toda a razão (não a da PA).

Primeiro vamos determinar o valor de a_n em função de n:

a_n = a₁ + (n – 1)r = 1 + (n – 1)2 = 2n – 1

Para concluirmos, mostrando que a soma S_n é igual a n²:

S_n = [(a₁ + a_n)n]/2 = [(1 + 2n - 1)]n/2 = 2n²/2 = n²

Pronto! não é que o homem tinha razão?

Visite o Cabeçolinha – a bola (de gude) da vez.

Em sequência ao artigo Conjuntos: Noções Básicas – Parte I vamos agora abordar as principais operações com conjuntos.

Reunião ou União

Consideremos os dois conjuntos:

A = {b, l, o, g, i, e} e B = {b, v, i, l, c, h, e}

Podemos pensar num novo conjunto C, constituído por aqueles elementos que pertencem a A ou que pertencem a B. No exemplo em questão esse novo conjunto é:

C = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}

Repare que o conjunto C foi formado a partir dos conjuntos A e B, onde os elementos repetidos (os que estão em A e em B) foram escritos apenas uma vez, e dizemos que se trata da reunião (ou união) do conjunto A com o conjunto B. A reunião (ou união) de A e de B (ou de A com B) é usualmente representada por A U B. Com esta notação tem-se:

A U B = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}

Esse exemplo sugere-nos a seguinte definição geral para a reunião de conjuntos.

Definição 1. Dados dois conjuntos quaisquer A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos:

Exemplos:

• {1; 2} U {3; 4} = {1; 2; 3; 4}
• {n, e, w, t, o, n} U {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w}

A definição 1 nos diz que um elemento x pertencer a A U B é equivalente a dizer que uma das proposições “x pertence A” ou “x pertence a B” é verdadeira. Desse fato decorre que:

Propriedades da União

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:

1. Idempotência: A U A = A -> A união de um conjunto qualquer A com ele mesmo é igual a A;
2. Comutativa: A U B = B U A;
3. Elemento Neutro: Ø U A = A U Ø = A -> O conjunto Ø é o elemento neutro da união de conjuntos;
4. Associativa: (A U B) U C = A U (B U C).

Demonstração da propriedade comutativa:

Da definição da união de conjuntos temos:

Como A U B é o conjunto dos elementos de U (universo) que, ou pertencem a A, ou pertencem a B e B U A é o conjunto dos elementos de U que, ou pertencem a B, ou pertencem a A, e as proposições p v q (p ou q) e q v p (q ou p) têm o mesmo valor lógico, concluí-se que a propriedade é verdadeira.

Intersecção

Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo supor que houve eleitores que votaram simultaneamente nos dois candidatos no primeiro turno. Assim somos levados a definir um novo conjunto, cujos elementos são aqueles que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto nos leva à seguinte definição geral.

Definição 2. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos intersecção de A e de B (ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido:

Exemplos:

Da definição de intersecção resulta que:

Os fatos acima nos diz que A intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou seja:

Propriedades da Intersecção

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:

1. Idempotência:

2. Comutativa:

3. Elemento Neutro – O conjunto universo U é o elemento neutro da intersecção de conjuntos:

4. Associativa:

Demonstração da propriedade associativa:

O conjunto do primeiro membro da igualdade é constituído pelos elementos x pertencentes a U tais que (por definição):

onde na segunda passagem foi utilizada, novamente, a definição de intersecção entre os conjuntos B e C. Tendo em vista que a proposição p ^ (q ^ r) tem o mesmo valor lógico da proposição (p ^ q) ^ r vem que esse conjunto é constituído por elementos de U tais que:

Assim, fica demonstrado que o primeiro conjunto da igualdade está contido no segundo. Para concluir a demonstração, isto é, provar que o segundo conjunto está contido no primeiro, é só seguir o caminho inverso

Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção entre eles é igual ao conjunto vazio.

Propriedades da União e Intersecção

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer, então valem as seguintes propriedades que inter-relacionam a união e intersecção de conjuntos:

Note que a propriedade 3 é a distributiva da união em relação à intersecção e a 4 a distributiva da intersecção em relação à união.

Diferença

Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo pensar que teve eleitores que votaram em Lula mas não votaram em Arlete. Isto nos leva ao conjunto dos elementos de A que não são elementos de B.

Definição 3. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos a diferença entre A e B o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.

Exemplos:

• {a, b, c} – {a, c, d, e, f} = {b}
• {a, b} – {e, f, g, h, i} = {a, b}
• {a, b} – {a, b, c, d, e} = Ø

Antes de prosseguirmos apresento, a título de ilustração, um diagrama de Euler-Venn com os conceitos até aqui tratados, onde a diferença corresponde à parte branca de A, a intersecção à parte cinza claro e a união à essas duas partes mais a cinza escuro.

Note que as propriedades 1. e 2. acima podem ser facilmente visualizadas nesse diagrama.

Complementar de B em A

Definição 4. Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se complementar de B em relação a A o conjunto A – B, e indicamos como:

Exemplos:

• A = {a, b, c, d, e, f} e B = {a, b} => complementar: A – B = {c, d, e, f}
• A = B = {1} => complementar: A – B = Ø

Observe que nos exemplos acima a condição para que o complementar de B em relação a A esteja definido é cumprida (B contido em A).

Propriedades da Complementação

Sendo B e C subconjuntos de A, valem as propriedades a seguir:

Vamos demonstrar apenas a primeira parte da propriedade 1. As demais deixo como exercício, me colocando à disposição para sanar eventuais dúvidas.

Da definição de intersecção de conjuntos e do complementar temos que:

Referências

1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
2. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.

Este artigo e o a ser publicado – Parte II – se propõem a apresentar as principais propriedades da Teoria dos Conjuntos, que tem sua origem nos trabalhos do Matemático russo Georg Ferdinand Ludwig Phillipp Cantor, nascido em S. Petersburgo (1845-1918), e são decorrência de três axiomas ou noções primitivas – noções cuja verdade é de si evidente:

a) Conjuntos

A noção de conjunto em Matemática é praticamente a mesma utilizada na linguagem cotidiana: agrupamento, classe, coleção. Por exemplo:

• Conjunto das letras maiúsculas do alfabeto;
• Conjunto dos números inteiros pares;
• Conjunto dos dias da semana;
• Conjunto dos Presidentes da República do Brasil.

b) Elemento

Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto. Assim:

• V, I, C, H, E são elementos do primeiro conjunto acima;
• 2, 4, 6 são elementos do segundo;
• Sábado, Domingo do terceiro; e
• FHC, Lula do último.

c) Pertinência entre elemento e conjunto

Por exemplo, V é um elemento do conjunto das letras maiúsculas do alfabeto, ou seja, V pertence àquele conjunto. Enquanto que v não pertence.

Como se vê são conceitos intuitivos e que se supõe sejam entendidos (evidentes) por todos.

Notação

Conjunto: Representado, de forma geral, por uma letra maiúscula A, B, C, …

Elemento: Por uma letra minúscula a, b, c, x, y, z, …

Pertinência: Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x é um elemento de A (ou x pertence a A) indicamos por:

Caso contrário, ou seja, se x não é um elemento de A (ou x não pertence a A) escrevemos:

Representações de Conjuntos

a) Extensão ou Enumeração

Quando o conjunto é representado por uma listagem ou enumeração de seus elementos. Devem ser escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula.

Exemplos:

• Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa, Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana};
• Conjunto dos meses com menos de 31 dias: {fevereiro, abril, junho, setembro, novembro};
• Conjunto dos números pares inteiros maiores do que 8 e menores do que 22: {10; 12; 14; 16; 18; 20}.

Observações:

1. Na representação por extensão cada elemento deve ser escrito apenas uma vez;
2. É uma boa prática adotar a separação dos elementos em conjuntos numéricos como sendo o ponto-e-vírgula, para evitar confusões com as casas decimais: {2;3;4} e {2,3;4};
3. Esta representação pode, também, ser adotada para conjuntos infinitos em que se evidencia a lei de formação de seus elementos e colocando-se reticências no final: {2, 4, 6, 8, 10, …};
4. Representação semelhante pode ser adotada para conjuntos finitos com um grande número de elementos: {0, 1, 2, 3, …, 100}.

b) Propriedade dos Elementos

Representação em que o conjunto é descrito por uma propriedade característica comum a todos os seus elementos. Simbolicamente:

A = {x | x tem a Propriedade P}

e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que (|) x tem a propriedade P.

Exemplos:

• A = {x | x é um time de futebol do Campeonato Brasileiro de 2006};
• B = {x | x é um número inteiro par e 8 < x < 22}. Último exemplo do item a) acima;
• C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}.

c) Diagrama de Euler-Venn

Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e não entrelaçada, como mostrado na figura abaixo. Os pontos dentro da linha fechada indicam os elementos do conjunto.

Conjunto Unitário e Conjunto Vazio

Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia de pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a existência de conjunto com apenas um elemento, chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado de conjunto vazio (Ø).

O conjunto vazio é obtido quando descrevemos um conjunto onde a propriedade P é logicamente falsa.

Exemplos de Conjuntos Unitários:

• Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro};
• Conjunto dos números inteiros maiores do que 10 e menores do que 12: {11};
• Conjunto das vogais da palavra blog: {o}.

Exemplos de Conjuntos Vazios:

• {x | x > 0 e x < 0} = Ø;
• Conjunto dos meses com mais de 31 dias;
• {x | x² = -1 e x é um número real} = Ø.

Conjunto Universo

É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U.

Assim, se procuramos determinar as soluções reais de uma equação do segundo grau, nosso conjunto Universo U é R (conjunto dos números reais); se estamos interessados em determinar os deputados federais envolvidos com o mensalão, nesse caso o universo U tem como elementos todos os deputados federais da atual legislatura.

Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através de uma propriedade P, fixemos o conjunto universo em que estamos trabalhando, escrevendo:

Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A:

Observações:

1. A título de ilustração: O A invertido na expressão acima significa “para todo”;
2. {a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a noção de ordem não interfere na igualdade de conjuntos;
3. É evidente que para A ser diferente de B é suficiente que um elemento de A não pertença a B ou vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b, c, d}.

Subconjunto

Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, e sómente se, todo elemento x pertencente a A também pertence a B:

onde a notaçãosignifica “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. A leitura da notação no sentido inverso é feita como “B contém A”. Observe que a abertura do sinal de inclusão fica sempre direcionado para o conjunto “maior”. Na forma de diagrama é representado como:

Exemplos:

• {1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6}
• Ø C {a, b};
• {a, b} C {a, b};
• {a, b, c} ¢ {a, c, d, e}, onde ¢ significa “não está contido”, uma vez que o elemento b do primeiro conjunto não pertence ao segundo.

Observe que na definição de igualdade de conjuntos está explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, ou seja, que A está contido em B e B está contido em A. Assim, para provarmos que dois conjuntos são iguais devemos provar que:

Propriedades da Inclusão

Sejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem as seguintes propriedades:

1. Ø C D: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;
2. D C D: Todo conjunto é subconjunto de si próprio (propriedade Reflexiva);
3. D C E e E C D => D = E: veja acima (propriedade Anti-Simétrica);
4. D C E e E C F => D C F: Se um conjunto é subconjunto de um outro e este é subconjunto de um terceiro, então o primeiro é subconjunto do terceiro (propriedade Transitiva).

Com exceção da primeira propriedade, a demonstração das demais é bastante intuitiva e imediata. Vamos, portanto, provar a primeira:

Partimos da tese de que se o conjunto vazio não é um subconjunto de D, então é necessário que pelo menos um elemento desse conjunto não esteja contido no conjunto D. Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, a sentença Ø ¢ D é sempre falsa. Logo, o conjunto vazio está contido em D é sempre verdadeira.

Conjunto das Partes

Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto E – P(E) – o conjunto formado por todos os subconjuntos de E:

Exemplos:

• Se A = {a, b, c}, então P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}. {a.b}, {a.c}. {b,c}, {a,b,c}}
• Se B = {a, b}, então P(B) = {Ø, {a}, {b}, {a,b}};
• Se C = {a}, então P(C) = {Ø, {a}}.

Observações:

1. Enfatizo, apesar de colocado na própria definição, que os elementos de P(E) são conjuntos;
2. Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos símbolos pertence (não pertence) e contido (não contido);
3. No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e {{a}} é um subconjunto de P(A);
4. Se definirmos n(E) como sendo o número de elementos do conjunto E, então n(P(E)) = 2^n(E). A propriedade é válida para conjuntos finitos;
5. Veja nos exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 2³, n(B) = 2 e n(P(B)) = 4 = 2² e n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 2¹.

A demonstração do item 5. é feita pelo Princípio da Indução Finita e será feita oportunamente.

Por enquanto é só. Aguardem o próximo artigo. Enquanto isto dê a sua opinião nos comentários, ela é muito importante.

Referências

1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
2. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.

Nos cálculos algébricos são frequentes a presença de alguns produtos (multiplicações) que, por conta desse fato, obtiveram destaque especial e receberam o nome de Produtos Notáveis.

Como se vê não há nada de excepcional. Decorrem, como o próprio expressa, de uma operação aritmética, a multiplicação, com a qual todos se deparam no início de sua formação.

Envolve, também, como veremos, a definição de Potenciação com expoente inteiro e que já foi abordada aqui no Blog Viche. E, também, nestas condições, nada mais é do que uma multiplicação.

Assim, é natural lembrá-los das propriedades da multiplicação que serão utilizadas (ou não) nas demonstrações dos Produtos Notáveis mais comuns apresentados abaixo.

Propriedades da Multiplicação em R

• Comutativa – A ordem dos fatores não altera o resultado final da operação ou produto: a.b = b.a, para todo a e b reais;
• Associativa – O agrupamento de fatores não altera o resultado: a.(b.c) = (a.b).c, para qualquer a, b e c reais;
• Distributiva – O produto de um número por uma soma ou diferença de dois outros números é igual a soma ou diferença entre o produto desse número por cada uma das parcelas: a.(b + c) = a.b + a.c ou a.(b – c) = a.b – ac;
• Elemento Neutro – O número (fator) 1 é o elemento neutro da multiplicação: 1.x = x, para qualquer x real;
• Elemento Opositor – O número -1 transforma o produto em seu oposto: -1.x = -x, para qualquer x real diferente de zero;
• Fechamento – O produto de dois números reais é, sempre, um número real;
• Anulação – O número 0 anula o produto: 0.x = 0, para qualquer x real.

Produtos Notáveis Mais Comuns

PN1. Quadrado da soma de dois números reais a e b quaisquer – a mais b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Demonstração:

Pela definição de potenciação temos que:

(a + b)² = (a + b)(a + b)

Utilizando-se da propriedade distributiva da multiplicação:

(a + b)² = a(a + b) + b(a + b) = a² + ab + ba + b²

E, finalmente pela propriedade comutativa vem:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

PN2. Quadrado da diferença de dois números reais a e b quaisquer – a menos b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:

(a – b)² = a² – 2ab + b²

PN3. O Produto da soma pela diferença de dois números reais a e b quaisquer é igual ao quadrado do primeiro termo (a) menos o quadrado do segundo (b):

(a + b)(a – b) = a² – b²

Demonstração:

Novamente é decorrência das propriedades distributiva e comutativa da multiplicação:

(a + b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b) = a² – ab + ba – b² = a² – b²

PN4. Cubo da soma de dois números reais a e b quaisquer – a mais b ao cubo é igual ao cubo do primeiro mais três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Demonstração:

Da definição de potenciação:

(a + b)³ = (a + b)(a + b)²

Pela propriedade PN1:

(a + b)³ = (a + b)(a² + 2ab + b²)

Da propriedade distributiva da multiplicação vem:

(a + b)³ = a(a² + 2ab + b²) + b(a² + 2ab + b²)

=> (a + b)³ = a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³

Somando os termos comuns com o uso da propriedade comutativa:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

PN5. Cubo da diferença de dois números reais a e b quaisquer – a menos b ao cubo é igual ao cubo do primeiro menos três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos o cubo do segundo:

(a + b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

PN6. Produto de Stevin:

(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

PN7. Produtos de Warring:

[1] a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

[2] a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

Demonstração de [1]:

Da propriedade PN4 temos que:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Por outro lado:

(a + b)³ = (a + b)(a + b)² = (a + b)(a² + 2ab + b²)

Substituindo na igualdade anterior vem:

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)(a² + 2ab + b²)

Ajustando a igualdade e colocando os termos comuns em evidência:

a³ + b³ = (a + b)(a² + 2ab + b²) – 3a²b – 3ab²

=> a³ + b³ = (a + b)(a² + 2ab + b²) – 3ab(a + b)

=> a³ + b³ = (a + b)(a² + 2ab + b² – 3ab) = (a + b)(a² – ab + b²)

No quarto número do Exercícios Resolvidos vamos colocar em prática a teoria apresentada no artigo sobre Logaritmo, o qual, sugiro, você deve consultar em caso de dúvidas, uma vez que serão apenas mencionadas as propriedades ali abordadas.

Exercício 1: Se log_aba = 4, calcule:

Solução:

Reescrevendo a expressão com o uso das propriedades dos logaritmos indicadas abaixo do sinal de igualdade, temos que:

Por outro lado, da condição inicial do exercício e da definição de logaritmo vem:

log_aba = 4 => a = (ab)⁴ => a = a⁴b⁴ => b⁴ = 1/a³ => b = (1/a³)^1/4 = 1/a^3/4

Observe que acima foi considerado, apenas, o valor real de b maior do que zero na extração da raiz de índice 4 (condição de existência do logaritmo)

Substituindo o valor de b em log_abb na expressão [1]:

Exercício 2: Se a, b e c são reais positivos com a diferente de 1 e ac diferente de 1, prove que:

log_ab = log_acb(1 + log_ac)

Solução:

Note que a expressão do lado direito da igualdade possui um logaritmo na base ac. Assim, nada mais natural do que efetuarmos, incialmente, a mudança para essa base (L4) na expressão do lado esquerdo da igualdade. Assim:

Por raciocínio semelhante ao anterior, fazendo a mudança de base no denominador da fração para a base a, obtemos:

E, substituindo [2] em [1]:

Exercício 3: Se a e b são raízes da equação x² – px + q = 0 (p, q > 0 e q diferente de 1), demonstre que:

log_qa^a + log_qb^b + log_qa^b + log_qb^a = p

Solução:

Aplicando a propriedade L3 ao primeiro membro da igualdade (definimos como A) vem:

A = alog_qa + blog_qb + blog_qa + alog_qb

Colocando os termos comuns em evidência:

A = (a + b)log_qa + (a + b) log_qb => A = (a + b)( log_qa + log_qb)

E, pela propriedade L1:

A = (a + b) log_qab [1]

Como todos vocês sabem (espero) que em uma equação do segundo grau mx² + nx + k = 0 a soma e o produto de suas raízes valem, respectivamente:

S = -n/m e P = k/m

vem, pelas condições iniciais do exercício, que:

a + b = p e a.b = q

Substituindo esses valores em [1]:

A = plog_qq = p

Exercício 4: Se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo retângulo de hipotenusa de medida a e sabendo que a – b e a + b são diferentes de 1, demonstre que:

log_a+bc + log_a-bc = 2log_a+bc.log_a-bc

Solução:

Como o triângulo é retângulo, pelo Teorema de Pitágoras:

Efetuando a mudança de base (de a + b para a – b) da primeira parcela:

E substituindo no primeiro membro da igualdade a ser demonstrada:

E, por fim, de [1] e [2] vem que:

Exercício 5: Demonstrar que:

Solução:

A demonstração é consequência da propriedade L4 (mudança de base):

O exercício foi incluído, apesar de simples, por não ter sido tratado nas consequências da propriedade L4 do artigo sobre Logaritmo.

Exercício 6: Se a, b e c são reais positivos e diferentes de um e a = b.c, prove que:

Solução:

Pela propriedade L4 (mudança de base) temos:

Da condição inicial, aplicando-se o logaritmo na base b, obtemos:

log_ba = log_bbc = log_bb + log_bc = 1 + log_bc [2]

Substituindo [2] em [1]:

Referência:

1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977.

Ao folhear o livro Elementos de Aritmética, Curso Superior – Para o curso colegial e admissão às escolas superiores, do Irmão Isidoro Dumont, Coleção de Livros Didáticos F. T. D, publicado em 26/10/1945 (isto mesmo! 61 anos atrás) encontrei, no Capítulo II – Operações sôbre Números Inteiros, os conceitos a seguir relacionados:

• As demonstrações baseiam-se em certos princípios, chamados teoremas e axiomas;
• Axioma é um princípio cuja verdade é de si evidente;
• Teorema é um princípio cuja verdade não é evidente por si mesma; deve ser demonstrado com auxílio de axiomas ou de teoremas já demonstrados;
• O enunciado de um teorema compreende duas partes: hipótese e conclusão;
• Hipótese é a afirmação, simples ou condicionada, de uma propriedade que se quer demonstrar.
• Conclusão é a consequência que o raciocínio deduz da hipótese;
• Consequência ou corolário é uma verdade que decorre de um ou mais princípios já demonstrados.
• Lema é um teorema que prepara a demonstração de outro;
• Problema é uma questão a resolver;
• As relações existentes entre os números dados e os desconhecidos formam as condições do problema;
• Resolver um problema é encontrar os números desconhecidos que satisfazem às condições desse problema;
• A resolução de um problema compreende a solução e o cálculo;
• Solução é a série de raciocínios que levam ao resultado pedido;
• Cálculo é a execução das operações indicadas pela solução.

E, ainda mais, relaciona os principais axiomas usados na Aritmética:

1. O todo é maior do que uma parcela;
2. O todo é igual à soma das parcelas;
3. Se de um todo tirarmos uma parcela, o resto será a outra parcela ou o conjunto das outras parcelas;
4. Duas quantidades iguais a uma terceira são iguais entre si.

Simplesmente fantástico!!!

Estes dias recebi um E-Mail de um amigo com o título “Como Pode??” e a questão abaixo, com a seguinte solicitação “me explica matematicamente”.

A matemática tem coisas que nem Pitágoras explicaria. Aí vai uma delas…

Pegue uma calculadora porque não dá pra fazer de cabeça, a não ser que você seja um gênio, ou seja parecido comigo…

1. Digite os 4 primeiros algarismos de seu telefone (não vale número de Celular);
2. multiplique por 80;
3. some 1;
4. multiplique por 250;
5. some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone;
6. some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone de novo;
7. diminua 250;
8. divida por 2…

Reconhece o resultado?

Para essa eu tiro o chapéu…

Antes de explicar, algumas observações quanto ao texto recebido (está tal e qual ou sem tirar nem por):

• Tem um pouco de exagero (nem Pitágoras…) e se aplica, na verdade, a qualquer número com oito algarismos, e sómente com oito;
• Daí a observação no item 1: não vale número de celular, o que indica se tratar de um problema antigo, da época em que existia número de celular com sete algarismos (salvo engano, a exigência da Anatel já foi aplicada em todo o Território Nacional);
• O charme da “mágica” está, em envolver no item 1, algo de pessoal do questionado – o número de seu telefone no lugar de um número qualquer com oito algarismos. Talvez, por isso, a afirmação (Para essa eu tiro o chapéu…). E o “Reconhece o resultado?”, como você já percebeu, será o número do telefone do questionado.

Vamos, agora, desvendar a mágica, primeiro estabelecendo onde os passos de 1 a 8 sempre vai levar (a tese) e a seguir o porquê (a demonstração).

Sejam P1 o número obtido a partir dos 4 primeiros algarismos de um número de telefone qualquer com oito algarismos (ou de um número qualquer com oito algarismos) e P2 o obtido pelos quatro últimos algarismos. Então o resultado dos passos 1 a 8 acima é sempre:

10000P1 + P2

que nada mais é do que o número do telefone representado de outra maneira. Pois, se você observar, ao multiplicarmos P1 (4 primeiros algarismos) por 10000 obtemos um outro número formado por P1 com quatro zeros no final, que somado a P2 (os outros 4 algarismos) resulta no dito cujo.
Demonstração:

Seguindo os passos:

passo 1: P1 é digitado;

passo 2: 80P1 -> multiplicado por 80;

passo 3: 80P1 + 1 -> somado 1;

passo 4: (80P1 + 1)250 -> multiplicado por 250;

passo 5: (80P1 + 1)250 + P2 -> somado P2;

passo 6: (80P1 + 1)250 + P2 + P2 -> somado P2 novamente;

passo 7: [(80P1 + 1)250 + P2 + P2] – 250 -> diminuido 250;

passo 8: {[(80P1 + 1)250 + P2 + P2] – 250}/2 = R -> dividido por 2;

E resolvendo a expressão (R) obtida no passo 8 vem:

R = {[20000P1 + 250 + 2P2] – 250}/2 =>

R = {20000P1 + 2P2}/2 => R = 10000P1 + P2

Em outras palavras, os passos 2, 4 e 8 definem o produto de P1 por 10000 (80*250/2). O 3 e o 7, junto com o 4, na verdade soma e subtrai 250, e portanto de efeito nulo. E, finalmente, o 6 e o 7 geram como resultado 2P2, que no passo 8 se transforma em P2. As operações são direcionados intencionalmente para se obter o resultado esperado e criar um “clima” de aparente complexidade.

Em nosso cotidiano é muito comum nos depararmos com situações que envolvam problemas de contagem. Desde as mais simples, em que se é possível determinar através, por exemplo, de um diagrama de árvore, a quantidade de maneiras em que dois ou mais eventos correlacionados podem ocorrer, como com situações em que é necessário se utilizar de métodos especiais de contagem.

Um exemplo simples consiste em determinar quantos anagramas podem ser formados com o uso das quatro letras da palavra BLOG. Mesmo que você ainda não conheça a teoria da Análise Combinatória, é perfeitamente possível chegar ao resultado através da listagem exaustiva das possibilidades ou do uso de um diagrama. Veja abaixo uma das formas de se demonstrar que existem 6 possibilidades de anagramas iniciados com a letra B (BLOG, BLGO, BOLG, BOGL, BGOL e BGLO).

O uso do mesmo raciocínio para as demais letras (L, O e G) nos permite concluir que o número de possibilidades é igual a 24 (4 x 6). Adiante, veremos que a solução é bastante simples, não havendo necessidade de montar um diagrama como o acima, a menos que se queira saber quais são os anagramas, para estabelecer com precisão o resultado.

Mesmo esse caso exige um pouco de trabalho e interpretação para se obter o valor. Agora imagine se você necessitasse determinar a sua chance de ganhar na Mega Sena ou saber quantas placas de carros podem ser construídas com o uso de três letras e quatro algarismos?

É óbvio que o método utilizado acima seria totalmente impraticável para solucionar essas questões. São situações desse tipo, em que se exige a organização e a contagem de grupos, que serão o objeto deste artigo.

Princípio Fundamental da Contagem

O princípio fundamental da contagem estabelece de quantas maneiras dois ou mais eventos correlacionados podem ocorrer.

Assim, se um evento A pode ocorrer de m maneiras diferentes, representadas por a₁, a₂, …, a_m, e, se para cada uma dessas m maneiras um segundo evento B, pode ocorrer de n maneiras diferentes, representadas por b₁, b₂, …, b_n, então o número de maneiras que esses eventos podem ocorrer, um seguido do outro, é igual a mn.

Para demonstrar o princípio é suficiente observar que para cada ocorrência a_i, i = 1, 2, …., m do evento A existem n maneiras de ocorrer o evento B, ou seja, para cada ocorrência a_i de A existem n maneiras em que esses eventos podem ocorrer um seguido do outro. Simbolicamente temos que

(a_i, b₁), (a_i, b₂), …., (a_i, b_n)

onde cada par ordenado representa a ocorrência simultânea dos dois eventos (n vezes) para cada maneira a_i de A. Como i varia de 1 a m, teremos n + n + …. + n (m vezes), que é igual a mn.

Acima consideramos, apenas, a ocorrência de dois eventos distintos. E se fossem iguais, onde uma maneira não pudesse ocorrer, com ela mesma, simultaneamente? E se ocorressem r eventos (r > 2), com maneiras n₁, n₂, …, n_r, respectivamente?

A resposta à primeira pergunta seria m(m – 1), uma vez que m = n e a ocorrência simultânea dos dois eventos é m – 1, para cada maneira a_i, pois, por hipótese, não pode haver repetições do tipo (a_i, a_i).

Para a segunda, a resposta é n₁.n₂. … .n_r e a demonstração pode ser feita pelo princípio da indução finita sobre r, ou seja, provar que é válida para r = 2 (feito acima), supor que é verdadeira para r = p e demonstrar que é verdadeira para r = p + 1 (fica como exercício).

Exemplo 1: Com base no princípio apresentamos, a seguir, outro método para se determinar o número de anagramas formados com a palavra BLOG.

Solução:

• Há quatro (4) maneiras para a escolha da primeira letra;
• Para cada escolha da primeira letra, há três (3) possibilidades para a escolha da segunda;
• Para cada escolha do primeiro par de letras, há duas (2) possibilidades para a escolha da terceira;
• E, finalmente, para cada escolha das primeiras três letras, há somente uma (1) possibilidade para a escolha da quarta.

Portanto, podemos concluir, pelo princípio fundamental da contagem, que o número de anagramas é igual a 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Exemplo 2: Determinar o número de placas de carros que podem ser construídas com o uso de três letras e quatro algarismos.

Solução:

Para resolver o problema, primeiro vamos determinar quantas possibilidades existem para combinar as três letras. Como sabemos que o alfabeto possui 26 letras e é permitida a repetição há 26 maneiras para a escolha da primeira letra, 26 para a segunda e 26 para a terceira. Portanto, existem, pelo princípio fundamental da contagem:

26 x 26 x 26 = 17.576

combinações possíveis.

De forma análoga pode-se afirmar que existem 10.000 combinações possíveis que podem ser estabelecidas com os quatro algarismos. Como a cada escolha de três letras se constroem 10.000 placas, vem que o total de placas é:

10.000 x 17.576 = 175.760.000

A título de curiosidade: Segundo o DENATRAN – Departamento Nacional de Trânsito, do Ministério das Cidades, existiam em 2003, 36.658.501 veículos automotores em todo Brasil, cuja distribuição por região era de 1.184.259 na Norte, 4.448.287 na Nordeste, 20.083.423 na Sudeste, 7.928.580 na Sul e 3.013.952 na Centro-Oeste. E que em 1990 o total era de 18.267.245, mostrando que foram necessários 13 anos para dobrar a frota nacional. Como se vê tem placa para aproximadamente uns 30 anos, na hipótese de que ocorra a mesma evolução mencionada e sem considerar a reutilização.

Exemplo 3: Quantos números ímpares de quatro algarismos podemos escrever utilizando os algarismos 1, 2, 4, 5 e 7?

Solução:

Note que não é condição do problema que os números sejam distintos, mas sómente que sejam ímpares. Desses fatos podemos afirmar que:

• Há três possibilidades de escolha para o algarismo das unidades – algarismos 1, 5 e 7;
• Há cinco possibilidades de escolha para o algarismo das demais casas decimais (milhar, centena e dezena);

para concluir que o total de números ímpares é:

5 x 5 x 5 x 3 = 375

A partir das informações e exemplos pode-se concluir que o princípio fundamental da contagem se constitui em um instrumento básico para a Análise Combinatória. Entretanto, em algumas situações pode se tornar trabalhosa a resolução de problemas com sua aplicação direta. Assim, vamos, a seguir, detalhar as várias maneiras de formarmos agrupamentos e deduzir as fórmulas que permitam a sua contagem.

Permutações Simples ou Sem Repetição

Dado o conjunto A = {a₁, a₂, …, a_n} com n elementos distintos, chamamos permutação dos n elementos de A qualquer sequência formada por esses n elementos.

Por exemplo, se A = {1, 2, 3, 4}, as sequências (1, 2, 3, 4), (1, 3, 2, 4), (1, 4, 2, 3), etc. são permutações dos quatro elementos de A. Do mesmo modo, também são, os anagramas formados pela palavra BLOG, onde cada um dos 24 anagramas é uma permutação das letras (elementos) B, L, O e G.

Fórmula do Número de Permutações

Seja A = {a₁, a₂, …, a_n} um conjunto com n elementos distintos e P_n o número de permutações dos n elementos de A. Então P_n é dado por:

P_n = n.(n – 1).(n – 2). … . 3.2.1

Demonstração:

Basta analisar quantas possibilidades de escolha existem para o primeiro, segundo, …, e n-ésimo termo das sequências, sem repetição dos elementos. Assim, para o primeiro há n possibilidades de escolha, para o segundo (n – 1), para o terceiro (n – 2), …, e para o n-ésimo 1. Logo, pelo princípio fundamental da contagem podemos concluir que o número de permutações de n elementos distintos é dado pela fórmula acima.

Exemplo 4: Com relação a palavra VICHE:

1. Quantos anagramas existem?
2. Quantos anagramas começam por V?
3. Quantos anagramas começam por V e terminam com E?
4. Quantos anagramas começam por vogal?
5. Quantos anagramas têm as vogais juntas?

Solução:

1. Cada anagrama é uma permutação das letras V, I, C, H e E. Logo o número procurado é P₅ = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.
2. Como V é fixo, temos que somente permutar as letras I, C, H e E. Logo o número procurado é P₄ = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.
3. Neste caso temos que permutar as letras I, C e H. Logo o número procurado é P₃ = 3 x 2 x 1 = 6.
4. Na palavra VICHE temos as vogais I e E. Assim, para cada uma delas fixas (início dos anagramas) temos P₄ = 24 permutações (veja item b). Logo o número procurado é 2 x 24 = 48.
5. Como as vogais têm que estar juntas elas funcionam como se fosse uma única, que deve ser permutada com as letras V, C e H. Daqui vem que existem P₄ = 24 permutações. No entanto, as vogais em cada uma dessas permutações podem se permutar entre si. Logo o número procurado é 2 x 24 = 48.

Fatorial

Seja n um número inteiro não negativo, definimos fatorial de n, e indicamos por n!, através da seguinte relação:

n! = n.(n – 1).(n-2). … .3.2.1 para n maior ou igual 2

1! = 1 e 0! = 1

Com a definição acima podemos escrever, de forma simplificada, a fórmula do número de permutações como:

P_n = n! (n pertencente a N*)

O cálculo do fatorial de n, isoladamente, se torna extremamente trabalhoso, à medida que n cresce. Porém, em determinadas situações muitos cálculos podem ser simplificados se utilizamos a seguinte igualdade, de fácil comprovação:

(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2). … .3.2.1 = (n + 1).n!

Por exemplo, para calcular 11!/9!, ao invés de calcularmos 11! e depois 9! e daí obter o resultado da divisão, com a utilização da igualdade acima o processo se torna muito simples, uma vez que:

11!/9! = 11.10.9!/9! = 11.10 = 110

Permutações com Repetição

Até o momento tratamos apenas de casos em que os cálculos de permutações ocorriam entre um determinado número de elementos distintos. Como fazer, então, para calcular o número de anagramas formados com as letras da palavra MARIA (nome de minha saudosa e muito querida mãe), onde temos duas letras A?

O natural seria esperar que o número de anagramas fosse P₅ = 5! = 120. Note, no entanto, que a troca das duas letras iguais (A) em cada anagrama não resulta em um novo. E como a letra A ocupa duas posições a cada permutação (P₂ = 2! = 2), temos que cada anagrama gera dois anagramas iguais, ou seja, cada anagrama é computado duas vezes no cálculo de P₅. Logo, o número de anagramas formados com as letras de MARIA é igual a:

P₅⁽²⁾ = P₅/P₂ = 5!/2! = 120/2 = 60

onde, em P₅⁽²⁾, o 5 indica o total de letras e o (2) mostra que uma letra se repete duas vezes.

E com a palavra ODORIDES (segundo nome de solteira de Mamãe, que ela abominava, com razão, e retirou quando se casou) quantos anagramas podem ser formados com suas letras?

Por raciocínio análogo, teríamos P₈ = 8! = 40.320 anagramas se não houvesse repetições. Como temos duas letras repetidas O e D, temos P₂.P₂ = 4 anagramas iguais para cada anagrama computado em P₈. Logo o número de anagramas é:

P₈^(2,2) = P₈/P₂.P₂ = 8!/2!.2! = 40.320/4 = 10.080

De forma análoga podemos definir a fórmula geral para o cálculo das permutações com repetição (a demonstração não é feita) como sendo:

onde temos n elementos, em que um deles se repete n₁ vezes, outro n₂ vezes, …, e outro n_r vezes.

Exemplo 5: Quantos anagramas existem com as letras da palavra BLOGOBORGES.

Solução:

Aplicação direta da fórmula, com n = 11, n₁ = 2 (letra B), n₂ = 3 (letra O) e n₃ = 2 (letra G):

Arranjos com Repetição

Seja A = {a₁, a₂, …, a_n} um conjunto com n elementos. Chamamos arranjo com repetição dos n elementos p a p a toda sequência formada com p elementos de A não necessariamente distintos.

Fórmula do Número de Arranjos com Repetição

Seja A = {a₁, a₂, …, a_n} um conjunto com n elementos, então o número de arranjos com repetição dos n elementos tomados p a p (p pertencente a N*) é:

(AR)_n,p = n.n. … .n (p fatores iguais a n) => (AR)_n,p = n^p

Demonstração:

A demonstração é consequência do princípio fundamental da contagem e da definição de arranjos com repetição. Da definição segue que cada arranjo é formado por p elementos de A não necessariamente distintos. Desse fato, temos que para cada posição da sequência existem n possibilidades de escolha e a demonstração é concluída pelo princípio, uma vez que teremos o produto de p fatores iguais a n.

Arranjos Simples ou Sem Repetição ou Arranjos

Seja A = {a₁, a₂, …, a_n} um conjunto com n elementos. Chamamos arranjo simples (ou arranjo) dos n elementos p a p, com p maior ou igual a 1 e menor ou igual a n, a qualquer sequência formada com p elementos de A todos distintos.

Fórmula do Número de Arranjos

Seja A = {a₁, a₂, …, a_n} um conjunto com n elementos distintos, então o número de arranjos dos n elementos tomados p a p (p pertencente a N*) é:

A_n,p = n.(n – 1).(n – 2). … .[n - (p - 1)]

Demonstração:

Para demonstrar a fórmula é suficiente determinar quantas sequências, com p elementos distintos de A, é possível formar. Para tanto, bastará determinar os números de possibilidades de escolha para cada um dos elementos da sequência e depois multiplicá-los. Para o primeiro temos n possibilidades de escolha, para o segundo (n – 1), …, e para o p-ésimo n – (p – 1).

Daqui, aplicando o princípio fundamental da contagem obtemos a fórmula do número de arranjos.

Note, a fórmula do número de arranjos diz que para calcular A_n,p basta você fazer o produto do número n por seus sucessivos antecessores até completar p fatores.

Exemplo 6: Calcular A_6,3.

Pelo dito acima vem: A_6,3 = 6 x 5 x 4 = 120.

A fórmula do número de arranjos pode ser simplificada utilizando-se a notação fatorial:

Dessa última fórmula podemos concluir facilmente que se n = p, P_n = A_n,n = n!. Lembre-se da definição de fatorial que 0! = 1.

Exemplo 7: Calcular, agora, A_6,3 utilizando a fórmula simplificada.

A_6,3 = 6!/(6 – 3)! = 6×5x4×3!/3! = 120

Combinações

Seja A = {a₁, a₂, …, a_n} um conjunto com n elementos distintos. Chamamos de combinações dos n elementos, tomados p a p, aos subconjuntos de A constituídos de p elementos, que denotamos por C_n,p.

Veja que na difinição de combinações os agrupamentos formados são conjuntos, diferentemente dos arranjos, onde temos sequências. Portanto, nas combinações a ordem não importa, uma vez que em se tratando de conjuntos {a, b} = {b, a}, o que já não é o caso dos arranjos onde a sequência (a, b) é diferente de (b, a). Na resolução de problemas o fato é determinante para estabelecer o procedimento de cálculo a se adotar.

Cálculo do Número de Combinações

Seja A = {a₁, a₂, …, a_n} um conjunto com n elementos distintos. Então o número de combinações dos n elementos de A, tomados p a p é:

onde é apresentada outra notação utilizada para o número de combinações, no final das igualdades.

Demonstração:

Vimos como calcular o número de arranjos e a diferença entre arranjos e combinações. Assim, efetuado o cálculo do número de arranjos dos n elementos p a p, é suficiente eliminarmos o número de repetições existentes (determinados pela ordem de cada agrupamento de p elementos de A) para obtermos o número de combinações.

Em outras palavras, como em qualquer subconjunto de p elementos de A é gerado p! repetições correspondente às permutações desses p elementos, basta, portanto, dividir o número de arranjos por p!, ou seja:

C_n,p = A_n,p/p!

Substituindo A_n,p na igualdade acima obtemos a fórmula do número de combinações.

Para finalizar o artigo seguem mais alguns exemplos de problemas com as respectivas soluções.

Exemplo 8: De uma lista de 10 ministeriáveis, todos com capacidade administrativa comprovada e honestidade ilibada, indicados pela base aliada, o Presidente da República precisa escolher o Ministro da Educação, o Ministro da Cultura e o Ministro dos Esportes. De quantas maneiras diferentes podem ser feitas as escolhas?

Solução:

Primeiro observe que escolhidos três ministeriáveis da lista eles podem ser designados para ocupar os cargos de maneiras diferentes. Assim, cada agrupamento escolhido é regido por uma relação de ordem. Ou seja, cada agrupamento possível é um arranjo de dez ministeriáveis, tomados três a três. Logo:

A_10,3 = 10 x 9 x 8 = 720

Exemplo 9: Quais são as chances de um apostador acertar a sena, a quina ou a quadra com uma aposta simples de seis números da Mega Sena.

Solução:

Os cálculos dessas probabilidades são feitos utilizando-se de:

P(i) = casos prováveis/casos possíveis

Calculemos, primeiro, os casos possíveis. Como a ordem não importa, estamos diante de um caso clássico de combinações. Portanto, como na Mega Sena existem 60 números vem que:

Como para acertar a sena existe uma única possibilidade (C_6,6= 1):

P(sena) = 1/50.063.860

ou seja, sua chance é de 1 em 50.063.860.

No caso da quina os casos prováveis é dado por:

C_6,5.C_54,1 = 6 x 54 = 324

onde C_6,5 é o número de combinações entre os 6 de uma aposta premiada da quina (5 números de uma aposta) e C_54,1 corresponde ao número de possibilidades para se jogar o sexto (para completar a aposta). Portanto,

P(quina) = 324/50.063.860 = 1/154.518

e sua chance é de 1 em 154.518.

Por raciocínio semelhante ao usado para a quina, os casos prováveis de acertar a quadra é determinado por:

C_6,4.C_54,2 = 15 x 1431 = 21465

e, portanto:

P(quadra) = 21465/50.063.860 = 1/2332

e sua chance é de 1 em 2332.

Referências:

1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
2. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.