No quarto número do Exercícios Resolvidos vamos colocar em prática a teoria apresentada no artigo sobre Logaritmo, o qual, sugiro, você deve consultar em caso de dúvidas, uma vez que serão apenas mencionadas as propriedades ali abordadas.
Exercício 1: Se logaba = 4, calcule:
Solução:
Reescrevendo a expressão com o uso das propriedades dos logaritmos indicadas abaixo do sinal de igualdade, temos que:
Ler Mais... 78 comentários setembro 8th, 2006
Ao folhear o livro Elementos de Aritmética, Curso Superior - Para o curso colegial e admissão às escolas superiores, do Irmão Isidoro Dumont, Coleção de Livros Didáticos F. T. D, publicado em 26/10/1945 (isto mesmo! 61 anos atrás) encontrei, no Capítulo II - Operações sôbre Números Inteiros, os conceitos a seguir relacionados:
Ler Mais... 23 comentários setembro 6th, 2006
Estes dias recebi um E-Mail de um amigo com o título “Como Pode??” e a questão abaixo, com a seguinte solicitação “me explica matematicamente”.
A matemática tem coisas que nem Pitágoras explicaria. Aí vai uma delas…
Pegue uma calculadora porque não dá pra fazer de cabeça, a não ser que você seja um gênio, ou seja parecido comigo…
- Digite os 4 primeiros algarismos de seu telefone (não vale número de Celular);
- multiplique por 80;
- some 1;
- multiplique por 250;
- some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone;
- some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone de novo;
- diminua 250;
- divida por 2…
Reconhece o resultado?
Para essa eu tiro o chapéu…
Ler Mais... 28 comentários agosto 15th, 2006
Em nosso cotidiano é muito comum nos depararmos com situações que envolvam problemas de contagem. Desde as mais simples, em que se é possível determinar através, por exemplo, de um diagrama de árvore, a quantidade de maneiras em que dois ou mais eventos correlacionados podem ocorrer, como com situações em que é necessário se utilizar de métodos especiais de contagem.
Um exemplo simples consiste em determinar quantos anagramas podem ser formados com o uso das quatro letras da palavra BLOG. Mesmo que você ainda não conheça a teoria da Análise Combinatória, é perfeitamente possível chegar ao resultado através da listagem exaustiva das possibilidades ou do uso de um diagrama. Veja abaixo uma das formas de se demonstrar que existem 6 possibilidades de anagramas iniciados com a letra B (BLOG, BLGO, BOLG, BOGL, BGOL e BGLO).
O uso do mesmo raciocínio para as demais letras (L, O e G) nos permite concluir que o número de possibilidades é igual a 24 (4 x 6). Adiante, veremos que a solução é bastante simples, não havendo necessidade de montar um diagrama como o acima, a menos que se queira saber quais são os anagramas, para estabelecer com precisão o resultado.
Mesmo esse caso exige um pouco de trabalho e interpretação para se obter o valor. Agora imagine se você necessitasse determinar a sua chance de ganhar na Mega Sena ou saber quantas placas de carros podem ser construídas com o uso de três letras e quatro algarismos?
É óbvio que o método utilizado acima seria totalmente impraticável para solucionar essas questões. São situações desse tipo, em que se exige a organização e a contagem de grupos, que serão o objeto deste artigo.
O princípio fundamental da contagem estabelece de quantas maneiras dois ou mais eventos correlacionados podem ocorrer.
Assim, se um evento A pode ocorrer de m maneiras diferentes, representadas por a1, a2, …, am, e, se para cada uma dessas m maneiras um segundo evento B, pode ocorrer de n maneiras diferentes, representadas por b1, b2, …, bn, então o número de maneiras que esses eventos podem ocorrer, um seguido do outro, é igual a mn.
Ler Mais... 60 comentários agosto 11th, 2006
Resolução de exercícios sobre Radiciação com o objetivo de fixar os conceitos e as propriedades já tratadas no artigo de mesmo nome. Inicia com a questão do leitor identificado como HENRIQUE (comentário #33) sobre raiz de índice m da raiz de índice n ou como dito por ele, radical duplo.
Em seguida, serão resolvidos outros exercícios em que procuro cobrir todas as propriedades esboçadas no texto teórico acima mencionado. Em caso de dúvidas leia o artigo cujas propriedades serão aqui apenas assinaladas por P1, P2, …, P7 quando usadas.
Exercício 1: A raiz de índice m de uma raiz de índice n de a é igual à raiz de índice mn de a:
Ler Mais... 129 comentários julho 29th, 2006
Normalmente, toda calculadora científica possui a função que permite calcular o valor do logaritmo decimal ou de base 10 de um número.
A figura abaixo exibe a calculadora do Windows XP no modo científico, com o resultado do logaritmo decimal de 127.
Observe que estão assinalados a característica do logaritmo (a parte inteira), a mantissa (a parte decimal) com 31 casas e a função log que efetua o cálculo.
O objetivo é obter esse resultado, com menos casas decimais, a partir dos conceitos de característica e mantissa do logaritmo decimal.
A mantissa, como veremos, é obtida a partir da tábua de logaritmos (ou tabela logarítmica) apresentada abaixo. A tabela contém a mantissa, com quatro casas …
Ler Mais... 12 comentários junho 25th, 2006
Com este artigo, a Parte III, estamos concluindo o tema Progressões. As Partes I e II se referem à teoria sobre Sequência e PA e PG, respectivamente, que podem ser consultadas, caso seja necessário, para um melhor entendimento das soluções dos exercícios a seguir.
Os sete primeiros exercícios foram extraídos do sítio Vestibulando Web e suas respostas estão indicadas em negrito. Na mesma página você encontra outros exercícios interessantes, não resolvidos aqui e nem lá, para que você teste seus conhecimentos.
Exercício 1: (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:
Ler Mais... 243 comentários junho 22nd, 2006
Em continuidade ao artigo Progressões - Parte I que trata dos conceitos e propriedades de sequência e da Progressão Aritmética (PA), vamos, agora, fazer a abordagem teórica sobre as Progressões Geométricas (PG).
Definição
Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao antecessor multiplicado por uma constante q denominada a razão da PG. Ou seja:
an = an-1.q (n >= 2)
Observe que se a1 e q são diferentes de zero podemos escrever q = an/an-1, uma vez que, nessas condições, todos os termos da PG são também diferentes de zero.
Exemplos:
Ler Mais... 19 comentários junho 17th, 2006
Esta matéria aborda o conceito e propriedades de sequência ou sucessão, com ênfase nas que possui uma fórmula bem definida que permite calcular qualquer um de seus termos. Ou seja, das sequências que possuem uma lei de formação que estabelece uma relação entre o valor de seus termos e sua posição.
Especificamente, das duas mais conhecidas: a Progressão Aritmética (PA) e a Progressão Geométrica (PG), dividido em três partes (a primeira este artigo e as demais serão publicadas oportunamente):
Mas antes precisamos conhecer a definição do que seja uma sequência ou sucessão.
Uma sequência ou sucessão é um conjunto ordenado (finito ou infinito) de elementos de qualquer natureza, em que cada elemento fica naturalmente seqüenciado.
Um conjunto ordenado é um conjunto que possui …
Ler Mais... 27 comentários junho 15th, 2006
O VICHE inaugura uma nova categoria de artigos, denominada Exercícios Resolvidos, sobre um dos primeiros assuntos aqui tratado. O objetivo é fixar, com a prática, o conceito e as propriedades de potenciação abordados de forma teórica.
Os exercícios, todos com solução simples, são, com execeção do 5, do livro Praticando Matemática, de Álvaro Andrini, 8a. Série, Editora do Brasil S/A, São Paulo, propostos em sua seção TESTES e se reportam a questões aplicadas em várias Instituições de Ensino, indicadas entre parêntesis.
Nas soluções dos exercícios serão mencionadas as propriedades pela letra utilizada no artigo sobre potenciação .
Exercício 1: (PUC-SP) O número de elementos distintos da sequência 24, 42, 4-2 (-4)2, (-2)4, (-2)-4 é:
Ler Mais... 140 comentários junho 6th, 2006
