Matemática

A razão para que o número 1089 seja considerado “mágico” decorre do fato de ser obtido da seguinte forma:

Dado um número qualquer composto de três algarismos diferentes – abc -, inverta esse número, no sentido de trás para frente – cba – e subtraia o menor do maior. Ao resultado dessa subtração – representada por xyz -, onde se deve considerar sempre um número de três algarismos, mesmo quando a diferença na casa das centenas é zero, some o seu inverso – zyx – e eis que surge “fagueiro” o número 1089.

O objetivo deste post é demonstrar porque isso sempre ocorre. Mas, antes alguns exemplos para que não restem eventuais dúvidas quanto ao enunciado.

Exemplo 1: Seja 367 um número escolhido, que escrito de trás para frente é 763. Subtraindo o menor do maior obtemos:

763 – 367 = 396

E somando o resultado obtido ao seu inverso de trás para frente:

396 + 693 = 1089

Exemplo 2: Agora tome o número 675. Utilizando-se dos mesmos procedimentos vem:

675 – 576 = 099 => 099 + 990 = 1089

Observe que no exemplo acima o zero a esquerda – em 099 – deve ser considerado para que o resultado seja o número “mágico” 1089.

Isto posto, vamos lá.

Seja e com a composição abc o número escolhido. Como a representa a centena, b a dezena e c a unidade, então e pode ser escrito como:

e = 100a + 10b + c.

Pelo enunciado, o “inverso” de e tem a composição “cba” e por analogia:

d = 100c + 10b + a.

Portanto, supondo que e > d, temos a > c (representam as centenas de e e d respectivamente) e que a subtração é dada por:

e – d = 100a + 10b + c – (100c + 10b + a)

Eliminando os parenteses e efetuando a multiplicação por -1, a famosa troca de sinal:

e – d = 100a + 10b + c – 100c – 10b – a

Efetuando as operações com os termos comuns, ou seja, 100a – a = 99a, 100c – c = 99c e 10b – 10b = 0:

e – d = 99a – 99c

Colocando 99 em evidência – termo comum às duas parcelas:

e – d = 99(a – c)

Até aqui fica demonstrado que o resultado da diferença entre e e d – que será representada pela composição xyz – é sempre um múltiplo de 99 e portanto, necessariamente, um múltiplo de 9.Como nas duas parcelas e e d, b não muda de posição, permanecendo na casa das dezenas e a > c, então o “y” da composição do resultado (”xyz”) será sempre igual a 9 (lembra do tira 1 dos tempos da aritmética!).

E como em todo número divisível por 9 a soma de seus algarimos é também um número divisível por 9, concluímos que x + z = 9.

Logo, podemos escrever o resultado R da soma da diferença pelo seu “inverso” como:

R = 100x + 10y + z + 100z + 10y + x

que pode ser reescrito como:

R = 100(x + z) + 20y + (x + z) = 100(9) + 20(9) + 9 = 900 + 180 + 9 = 1089

como queríamos demonstrar.

Observações:

• Na expressão 99(a – c), obtida na demonstração como resultado da subtração inicial, teremos sempre o valor 099 quando a diferença entre o algarismo da centena e da unidade do número escolhido for igual a 1, caso do exemplo 2 acima;
• Que os resultados possíveis para a subtração inicial são 099, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792 e 891;
• Que, com exceção do 099, todos os inversos utilizados na soma – segundo passo para obter o 1089 – estão, também, entre os números acima;
• E, finalmente, que o resultado de toda a brincadeira, para qualquer que seja o número escolhido, é sempre igual a 11 x 99 = 1089. Veja que se a – c = 2, por exemplo, temos como resultado da subtração 198 = 2 x 99 cujo inverso é 891 = 9 x 99, o que conduz a 1089 = (2×99) + (9×99) = 11 x 99.

Para que a apresentação do assunto em um único artigo não fique demasiadamente extenso, ele será dividido em duas ou mais partes. A primeira aborda um pouco de história das frações, cujo texto foi extraído da Wikipédia, sua definição e alguns conceitos e propriedades básicas. Nas próximas trataremos da redução, da simplificação e das operações com frações.

Um pouco de História

“No antigo Egito, por volta do ano 3000 a.C., o faraó Sesóstris distribuiu algumas terras às margens do rio Nilo para alguns agricultores privilegiados. O privilégio em possuir essas terras era porque todo ano, no mês de julho, as águas do rio inundavam essa região ao longo de suas margens e fertilizava os campos. Essas terras, portanto, eram bastante valorizadas.

Porém, era necessário remarcar os terrenos de cada agricultor em setembro, quando as águas baixavam. Os responsáveis por essa marcação eram os agrimensores, que também eram chamados de estiradores de corda, pois mediam os terrenos com cordas nas quais uma unidade de medida estava marcada.

Essas cordas eram esticadas e se verificava quantas vezes a tal unidade de medida cabia no terreno, mas é só parar para pensar um pouquinho para descobrir que nem sempre essa medida cabia inteira nos lados do terreno.

Esse problema só foi resolvido quando os egípcios criaram um novo número: o número fracionário. Ele era representado com o uso de frações, porém os egípcios só entendiam a fração como uma unidade (ou seja, frações cujo numerador é igual a 1).

Eles escreviam essas frações com uma espécie de sinal oval escrito em cima do denominador. Mas os cálculos eram complicados, pois no sistema de numeração que usavam no Egito nessa época os símbolos se repetiam muitas vezes.

Só ficou mais fácil trabalhar com as frações quando os hindus criaram o Sistema de Numeração Decimal, quando elas passaram a ser representadas pela razão de dois números naturais.

Desde então, as frações foram usadas para a resolução de diversos tipos de problemas matemáticos. Uma das formas mais correntes de se trabalhar com frações é a porcentagem, em que se expressa uma proporção ou uma relação a partir de uma fração cujo denominador é 100. O uso de frações também é de valia extrema para a resolução de problemas que envolvem regra de três.”

Definição

Fração é um número que designa uma ou mais partes iguais de uma unidade e sua representação genérica é:

onde a é o numerador e b o denominador e indicam os termos da fração.

O denominador (b) de uma fração estabelece em quantas partes iguais foi dividida a unidade e o numerador (a) quantas destas partes contém a fração.

Assim, se dividirmos a unidade em 5 partes iguais e tomarmos 1, 2, 3 ou 7 partes teremos as frações a seguir representadas:

Observe que, ainda considerando esse exemplo, se tomarmos 5 partes obtemos como resultado a própria unidade.

Leitura das Frações

Para se ler uma fração, enuncia-se primeiro seu numerador e depois o denominador de acordo com as seguintes regras:

• Quando o denominador é igual a 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 lêem-se meio, terço, quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo ou nono, respectivamente. Exemplo : lê-se dois terços;
• Quando o denominador é maior do que 9 acrescenta-se a terminação avos. Por exemplo, , lê-se cinco onze avos;
• Os denominadores múltiplos ou potências de 10 podem ser lidos, por exemplo, como décimo – ou dez avos -, vigésimo, centésimo, milésimo. Exemplo : lê-se dois décimos. As frações cujos denominadores é uma potência de 10 – isto é, a unidade seguida de um ou mais zeros – são denominadas decimais: (sete décimos), (setenta e oito centésimos), (duzentos e trinta e dois milésimos);
• Costuma-se também, na leitura, intercalar a palavra sobre, depois de enunciar o numerador. A fração pode ser lida como duzentos e trinta e dois sobre cinco mil, quatrocentos e setenta e sete.

Comparação das frações com a unidade

Uma fração é inferior à unidade – menor do que 1 – quando seu numerador é menor do que seu denominador. Nestes casos as frações são denominadas próprias. Exemplos: , e .

Uma fração é superior à unidade – maior do que 1 – quando seu numerador é maior do que seu denominador. Nestes casos as frações são denominadas impróprias. Exemplo: , e . Um caso particular de fração imprópria, denominada de aparente, ocorre quando o numerador é múltiplo do denominador. Exemplo: .

Comparação das frações entre si

Da definição de fração resulta:

• De duas frações de mesmo denominador a maior é a que tem o numerador maior. Exemplo: . Porque tendo as frações o mesmo denominador significa que a unidade foi dividida no mesmo número de partes iguais. Como a primeira tem o numerador maior – 8 – significa que ela tem mais partes do que a segunda, cujo numerador é 5.
• De duas frações de mesmo numerador a maior é a que tem o denominador menor. Exemplo: . Nesse caso – e de forma geral -, como as frações têm o mesmo numerador (5), elas possuem o mesmo número de partes da unidade, e como o nono da unidade é maior do que o treze avos segue-se que a primeira fração é maior do que a segunda.
• De duas frações próprias entre cujos termos existe a mesma diferença, a maior é aquela cujos termos são maiores. Exemplo: . Observe que na primeira fração faltam 2/9 para igualar a unidade e na segunda, 2/7. Pela regra anterior 2/9 é menor do que 2/7, logo 7/9 é a fração maior pois lhe falta menos para completar a unidade.

Propriedades das Frações

Propriedade 1. Uma fração representa o quociente da divisão do numerador pelo denominador.

Utilizaremos um exemplo prático para demonstrar a propriedade. Seja a fração 2/5, que segundo a propriedade deve representar o quociente de 2 por 5.

Observe inicialmente que 1/5 somado 5 vezes reproduz a unidade – decorrência da definição de fração. Logo, 2/5 somado 5 vezes darão 2 unidades, e, portanto a fração 2/5 representa o quociente de 2 por 5, pois multiplicada por 5 tem como resultado 2.

Propriedade 2. Quando uma divisão deixa um resto, pode-se completar o quociente por uma fração que tem por numerador o resto da divisão e por denominador o divisor.

Seja dividir 37 por 4 (= 37/4). Essa divisão tem como quociente 9 e resto 1. Assim podemos escrever:

37 = (9×4) + 1 = 36 + 1

Logo:

Observações:

• Na expressão acima na passagem da segunda igualdade foi utilizada a propriedade distributiva da divisão;
• A representação assinalada dentro do retângulo é denominada de número misto ou fração mista e lê-se nove inteiros e um quarto e, como o próprio nome sugere, é composta de uma parte inteira e outra fracionária;
• Uma fração mista é uma outra forma de representar uma fração imprópria;
• A operação inversa – transformar uma fração mista em uma fração imprópria – é feita multiplicando-se o número inteiro (9) pelo denominador (4) e somando o resultado ao numerador (1) para obter o numerador da fração imprópria (37) e o seu denominador é o mesmo da parte fracionária do número misto (4).

Propriedade 3. O valor de uma fração é o quociente da divisão do numerador pelo denominador.

Na definição geral de fração o numerador a e o denominador b podem ter qualquer valor. Assim, as expressões a seguir são consideradas como frações:

e são designadas geralmente como frações compostas. E o valor de uma fração composta é a fração simples que lhe é igual. Nos exemplos acima as frações compostas tem como valor 16/15 e 21/40, respectivamente.

Propriedade 4. Multiplicando-se ou dividindo o numerador de uma fração por um número, a fração é multiplicada ou dividida por esse número

Propriedade 5. Multiplicando-se ou dividindo-se o denominador de uma fração por um número, a fração e dividida ou multiplicada pelo número.

Propriedade 6. Multiplicando-se ou dividindo-se os dois termos – numerador e denominador – por um mesmo número a fração não se altera.

De fato, multiplicando o numerador de uma fração qualquer pelo número c, a fração é multiplicada por c pela propriedade 4, e, multiplicando-se o denominador por c a fração é dividida por c pela propriedade 5. Logo a fração não muda ou não se altera uma vez que é multiplicada e dividida pelo mesmo número c.

Por raciocínio analógo demonstra-se a propriedade para o caso da divisão. Esta propriedade é bastante utilizada na solução de problemas, em especial na racionalização de denominadores de frações irracionais.

Referências:

Elementos de Aritmética, Curso Superior – Para o curso colegial e admissão às escolas superiores, do Irmão Isidoro Dumont, Coleção de Livros Didáticos F. T. D, publicado em 26/10/1945

Que negócio é esse? Nas palavras do próprio autor John Forkosh:

MimeTex, licenciado sobre GPL, permite que você facilmente introduza fórmulas matemáticas em LaTex em suas páginas html. Ele analisa uma expressão matemática em LaTeX e imediatamente exibe uma imagem gif correspondente… E mimeTeX é um pequeno programa inteiramente independente que não usa TeX ou suas fontes de nenhuma forma. MimeTex é um CGI que você instala em seu site no diretório cgi-bin, sem nenhuma outra dependência. Assim, mimeTeX é muito fácil de instalar e igualmente fácil de usar. Apenas substitui uma tag html <img /> em seu documento em qualquer lugar que você deseja ver a expressão LaTeX correspondente. Por exemplo:

<img xsrc="../cgi-bin/mimetex.cgi?f(x)=\\int_{-\\infty}^xe^{-t^2}dt"   alt="" border="0" style="vertical-align:middle;" />

gera a imagem gif abaixo:

O LaTeX, originalmente desenvolvido por Leslie Lamport, é um macro pacote que habilita autores a escrever e imprimir seus trabalhos com grande qualidade tipográfica. Utiliza a engine TeX criada por Donald E Knuth, em 1977, cujo principal objetivo é escrever textos científicos e fórmulas matemáticas.

Um pequeno problema é que a sintaxe do LaTeX, considerando-se os padrões estabelecidos pela W3C, geram “warnings” em função das barras invertidas – backslashes – utilizadas na URI da imagem.

Tentei solucioná-lo instalando a modalidade do plugin LatexRender relacionada ao uso do MimeTeX, que tem um comando que gera e grava as imagens correspondentes em formato .gif em um diretório ou pasta no seu domínio e as utiliza para exibir nos posts – o que eliminaria os “warnings” mencionados.

Mas, para fazer isso é necessário que o modo de segurança (safe mode) do PHP esteja desabilitado, uma vez que ele executa o comando através da função system(). Não é o caso do meu host de hospedagem.

Diante do dilema – será? – optei, mesmo assim, por utilizar o MimeTeX e o plugin LatexRender considerando-se que o ganho de qualidade e clareza nos textos matemáticos são bem mais importantes para o Viche e seu autor. Outra característica do plugin é criar, mesmo que não resolva totalmente, a possibilidade das fórmulas serem acessível aos deficientes visuais, uma vez que as instruções LaTeX são colocadas no atributo alt.

Além do mais o plugin facilita a vida, uma vez que para escrever uma fórmula é suficiente colocá-la entre as tags [tex ]…[/tex ] – sem os espaços em branco – e ele se encarrega de montar a tag <img /> conforme indicado anteriormente.

Assim, o exemplo inicial pode ser escrito como:

[tex ]f(x)=\\int_{-\\infty}^xe^{-t^2}dt[/tex ]

para se obter o mesmo resultado – lembre-se de tirar os espaços em branco, ok!.

Essa funcionalidade foi adicionada aos comentários do blog. Um exemplo de seu uso você pode ver nos comentários do artigo Curiosidade Matemática #8 – Tem Algo de Errado. Mas, tem um claro incoveniente para o leitor usá-la: conhecer LaTeX :-).

Tenho visto em alguns sites e blogs colocações que causam um certo “espanto” e que podem levar a supor que há inconsistências na Matemática.

Para jogar mais lenha na fogueira apresento, a seguir, duas demonstrações aparentemente corretas, mas que contêm uma passagem que contrariam princípios simples e, porque não dizer, triviais da Matemática, para que você se habilite a explicar o que tem de errado nelas.

Na primeira vou “demonstrar” que a + b = b, partindo da suposição de que a = b.

Inicialmente, multiplicamos os membros da igualdade a = b por a para obtermos:

a² = ab

Em seguida, subtraímos b² nos dois lados da igualdade anterior:

a² – b² = ab – b²

Do produto notável a² – b² = (a + b)(a – b) e colocando-se b em evidência no segundo membro da igualdade acima, vem:

(a + b)(a – b) = b(a – b)

E, finalmente, simplificando-se a – b nos dois membros da igualdade concluímos que:

a + b = b

Observe, agora, que se a = b = 1 então 2 = 1, ou se a = b = 2 que 4 = 2 e por aí vai.

E que tal “mostrar” que 1/9 > 1/3.

Obviamente é fato que 2 > 1. Multiplicando a desigualdade pelo logaritmo decimal de 1/3 vem:

2log(1/3) > log(1/3)

Pela propriedade dos logaritmos:

log(1/3)² > log(1/3)

Daqui, eliminando-se o logaritmo em ambos os membros:

(1/3)² > 1/3

E, finalmente:

1/9 > 1/3

Realmente tem algo de errado. Quem se habilita?

Para complementar o artigo escrito sobre Conjuntos Numéricos iremos abordar agora o conceito de intervalo na reta real R. Ou seja, dos subconjuntos de R que satisfazem à seguinte propriedade:

se x e y pertencem a I C R, x ≤ y, então para todo z tal que x ≤ z ≤ y, então z pertence a I

Sem entrar em detalhes, e apenas como informação adicional, a propriedade estabelece que os intervalos são subconjuntos conexos de R, como também o é o próprio R, ou subconjuntos contínuos de R.

Em forma de conjunto a propriedade acima pode ser escrita como:

I = {z ε R | x ≤ z ≤ y}

Os intervalos podem ser classificados por suas características topológicas – abertos, fechados e semi abertos (fechados ou abertos à esquerda ou à direita) – e por suas características métricas – comprimento nulo, finito não nulo ou infinito.

Notação em símbolos de um intervalo

Habitualmente se utilizam os colchetes – “[" e "]” – para indicar que um dos extremos do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses – “(” e “)” – ou, também, os colchetes invertidos – “]” e “[" para indicar o contrário.

Assim, por exemplo, dados a e b números reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa o conjunto dos x ε R, tal que a < x ≤ b. Note que a não faz parte do intervalo.

Representação de um intervalo na reta real

Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha cheia” para indicar que o ponto extremo pertence.

Tipos de Intervalos

Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como:

a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b – a:

[a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b}

b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito c = b – a:

[a,b[ = [a,b) = {x ε R | a ≤ x < b}

c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito c = b - a:

(a,b] = ]a,b] = {x ε R | a < x ≤ b}

d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b – a:

]a,b[ = (a,b) = {x ε R | a < x < b}

e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:

]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R | x < b}

f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:

]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R | x ≤ b}

g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:

[a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | a ≤ x}

h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito:

]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a}

i) Intervalo aberto de comprimento infinito:

]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R

j) Intervalo fechado de comprimento nulo:

Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.

Concluo a classificação dos intervalos com a seguinte pergunta para vocês: E o intervalo vazio como seria definido?

União e Intersecção de Intervalos

Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.

E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.

Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.

Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:

A ∩ B = {x ε R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x ε R | -1 ≤ x}

[Atualização: 06/03/2007]:

As soluções dos exercícios foram disponibilizadas no questionário. Para vê-las proceda como indicado no texto abaixo.

[/Atualização]

É com grande prazer e satisfação que inauguro mais uma categoria de artigos, se é que se pode dizer assim, a Questionarious.

Consistirá de exercícios propostos sobre as matérias tratadas no Viche em forma de um questionário, com perguntas e respostas de múltipla escolha onde você terá condições de testar seus conhecimentos ao vivo e a cores. Ou seja, você resolve as questões, responde diretamente no questionário e obtém o resultado de sua avaliação clicando no botão “enviar” exibido em seu final.

O primeiro questionário é composto de cinco exercícios sobre potenciação e cinco sobre radiciação.

Ao final de cada pergunta você observará que é mostrado um ícone em forma de uma lâmpada que se destina a fornecer a sua solução. É claro que, por enquanto, você não terá essa facilidade disponível. Será preciso que você tente, primeiro, resolver.

A idéia é que após quinze dias, a contar da data de publicação do questionário, as soluções sejam divulgadas. Achou pouco ou muito, diz aí nos comentários!

No entanto, como “canja” e para você ter idéia de como as soluções serão apresentadas, estou disponibilizando, de imediato, os resultados da primeira e da sétima questão. Seja forte e resista à tentação de “espiar” sem antes tentar resolvê-las. A recomendação é para seu próprio bem :-).

Somente a título de conhecimento, o Questionarious é um aplicativo desenvolvido por mim em PHP, MySQL, JavaScript e AJAX com um pouco de CSS. Para a turma que “mexe” na área, informo que logo, logo, estarei liberando a versão “Zen” em forma de demonstração.

Chega de conversa e vamos ao que interessa: Clique aqui para exibir o questionário e bom teste.

René Descartes (31 de Março de 1596, La Haye en Touraine, França — 11 de Fevereiro de 1650, Estocolmo, Suécia), também conhecido como Cartesius, foi um filósofo, um físico e matemático francês. Notabilizou-se sobretudo pelo seu trabalho revolucionário da Filosofia, tendo também sido famoso por ser o inventor do sistema de coordenadas cartesiano, 1637, que influenciou o desenvolvimento do Cálculo moderno. Note que com essa invenção Descartes mostrou como traduzir problemas de geometria para a álgebra.

Visite a Wikipédia, de onde o trecho acima foi extraído, para saber mais sobre René Descartes.

Em linhas gerais, um sistema de coordenadas cartesiano consiste de um esquema que permite especificar pontos em um determinado espaço com n dimensões. Assim, por exemplo, a reta corresponde à dimensão 1 (n = 1), o plano à dimensão 2 e o espaço à dimensão 3.

Um ponto qualquer em uma reta orientada ou eixo orientado x, com origem O, o centro das coordenadas e que corresponde ao valor 0 (zero), é representado por um número real. Se positivo estará localizado à direita e se negativo à esquerda de O. Para o assunto a ser tratado é necessário começar pela definição a seguir.

Plano Cartesiano

O plano cartesiano é definido por dois eixos orientados x e y – as dimensões -, perpendiculares entre si, que se cruzam no ponto O, origem de ambos os eixos, conforme figura a seguir.

Observações:

• O eixo x é denominado de eixo das abcissas ou eixo Ox;
• O eixo y é denominado de eixo das ordenadas ou eixo Oy;
• Os dois eixos dividem o plano em quatro quadrantes (I, II, III e IV na figura);
• Cada ponto P do plano cartesiano é identificado por dois números reais x e y e é representado na forma de um par ordenado (x,y), também chamado de coordenadas do ponto P, onde x é a abcissa e y a ordenada;
• Um ponto P é obtido por meio do encontro das perpendiculares aos eixos Ox e Oy traçadas a partir de sua abcissa e de sua ordenada. Veja na figura a representação do ponto P = (2,3);
• A origem O é representada pelo par ordenado (0,0);
• Os pontos do quadrante I são representados pelos pares ordenados (x,y) em que x e y são positivos;
• E os do quadrante II pelos pares ordenados (x,y) em que x < 0 e y > 0;
• Os do quadrante III pelos pares ordenados (x,y) em que x e y são negativos;
• Os pontos do quadrante IV são representados pelos pares ordenados (x,y) em que x > 0 e y < 0;
• Um par ordenado (a,b) é igual a outro par ordenado (c,d) se, e somente se, a = c e b = d;
• Em um par ordenado (a,b), se a é diferente de b, então (a,b) é diferente do par ordenado (b,a). Determine, por exemplo, no plano cartesiano os pontos P = (1,2) e Q = (2,1) para comprovar a afirmação;
• De forma resumida, podemos afirmar que, no plano cartesiano, cada ponto é representado por um único par ordenado (a,b), a e b números reais. A recíproca também é verdadeira, ou seja, cada par ordenado (a,b) representa um único ponto no plano cartesiano;
• E, por fim, o plano cartesiano é obtido associando-se a cada um dos eixos o conjunto dos números reais.

Produto Cartesiano

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Definimos como produto cartesiano de A por B o conjunto A x B cujos elementos são todos os pares ordenados (a,b) em que a pertence a A e b pertence a B:

A x B = {(a,b) | a Ɛ A e b Ɛ B}

Observações:

• O símbolo A x B lê-se “A cartesiano B” ou “produto cartesiano de A por B”;
• Se o conjunto A é diferente do conjunto B, A e B diferentes do conjunto vazio, então A x B é diferente de B x A, veja exemplo abaixo;
• A x ø = ø, ø x A = ø e ø x ø = ø;
• Se A ou B é infinito e nenhum deles for vazio, então A x B é infinito;
• A x A pode ser também representado por A², que se lê “A dois”;
• Se A e B são finitos e A tem m elementos e B tem n elementos, então A x B tem m.n elementos: n(A x B) = n(A).n(B) = m.n.

Exemplo extraído do livro Fundamentos de Matemática Elementar, Vol 01, Conjuntos e Funções – ver referências no final do post:

Se A = {1,2,3} e B = {1,2} então:

A x B = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}

e

B x A = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)}

cujas representações no plano cartesiano são as seguintes:

Relação Binária

Dados dois conjunto A e B não vazios, chama-se relação R, ou mais simplesmente relação binária, de A em B a qualquer subconjunto de A x B. Uma relação R de A em B é representada pelo símbolo R: A -> B:

R: A -> B <=> R C A x B

Exemplo:

Se A = {1,5} e B = {3,4,6}, então A x B = {(1,3), (1,4), (1,6), (5,3), (5,4), (5,6)}. Logo:

R = {(1,3), (1,6), (5,4)}

S = {(5.4)}

T = {(1,3), (1,4), (5,3), (5,6)}

são relações de A em B, uma vez que R, S e T são subconjuntos de A x B.

As relações que estabelecem uma condição matemática para que um determinado par ordenado (x,y) pertença à uma relação são de grande importância. Vejamos alguns exemplos para ilustrar o fato.

Se A = {1,3,4} e B = {2,4}, então A x B = {(1,2), (1,4), (3,2), (3,4), (4,2), (4,4)}. São relações de A em B:

a) R = {(x,y) Ɛ A x B | x = y} = {(4,4)}

b) S = {(x,y) Ɛ A x B | x/y Ɛ Z} = {(4,2), (4,4)}

c) T = {(x,y) Ɛ A x B | y – x = 1} = {(1,2), (3,4)}

Domínio e Imagem

Seja R uma relação de A em B.

1. Chama-se domínio de R, e denotamos por D(R), o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R. Ou, alternativamente, o conjunto de todos os elementos de A que estão associados a pelo menos um elemento de B.

2. Chama-se imagem de R, e denotamos por Im(R), o conjunto de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R.

Com base no exemplo anterior, temos:

a) D(R) = {4} e Im(R) = {4}

b) D(S) = {4} e Im(S) = {2,4}

c) D(T) = {1,3} e Im(T) = {2,4}

Referências

1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
2. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.

A história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a preocupação em contar objetos e ter registros numéricos. Seja através de pedras, ossos, desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em que procurava abstrair a natureza por meio de processos de determinação de quantidades.

E essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos. E é sobre eles que passamos a dissertar.

Conjunto dos Números Naturais

Como decorrência da necessidade de contar objetos surgiram os números naturais que é simbolizado pela letra N e é formado pelos números 0, 1, 2, 3, …, ou seja:

N = {0; 1; 2; 3; …}

Um subconjunto de N muito usado é o conjunto dos números naturais menos o zero, ou seja N – {0} = conjuntos dos números naturais positivos, que é representado por N*.

Observações:

• Em N são definidas apenas as operações de adição e multiplicação;
• Isto é fato pois se a e b são dois números naturais então a + b e a.b são também números naturais. Esta propriedade é conhecida como fechamento da operação;
• Valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0 para a adição e 1 para a multiplicação) para as duas operações e a distributiva para a multiplicação em N. Veja o artigo Produtos Notáveis para maiores detalhes sobre essas propriedades, no caso da multiplicação, onde o conjunto universo considerado é o dos números reais, que abordaremos mais abaixo, e que são válidas para N;
• Em N a subtração não é considerada uma operação, pois se a diferente de zero pertence a N o simétrico -a não existe em N.

Como consequência, surge um novo conjunto para atender essa necessidade.

Conjunto dos Números Inteiros

Chama-se o conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, o seguinte conjunto:

Z = {…, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}

No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos notáveis que possuem notação própria para representá-los:

1. Conjunto dos inteiros não negativos: Z₊ = {0; 1; 2; 3; …};
2. Conjunto dos inteiros não positivos: Z_- = {…; -3; -2; -1; 0};
3. Conjunto dos inteiros não nulos: Z* = {…, -3; -2; -1; 1; 2; 3; …};
4. Conjunto dos inteiros positivos Z₊* = {1; 2; 3; …};
5. Conjunto dos inteiros negativos Z_-* = {…; -3; -2; -1}.

Note que Z₊ = N e, por essa razão, N é um subconjunto de Z.

Observações:

• No conjunto Z, além das operações e suas propriedades mencionadas para N, vale a propriedade simétrico ou oposto para a adição. Isto é: para todo a em Z, existe -a em Z, de tal forma que a + (-a) = 0;
• Devido a este fato podemos definir a operação de subtração em Z: a – b = a + (-b) para todo a e b pertencente a Z;
• Note que a noção de inverso não existe em Z. Em outras palavras, dado q pertencente a Z, diferente de 1 e de -1, 1/q não existe em Z;
• Por esta razão não podemos definir divisão no conjunto dos números inteiros;
• Outro conceito importante que podemos extrair do conjunto Z é o de divisor. Isto é, o inteiro a é divisor do inteiro b – simbolizado por b | a – se existe um inteiro c tal que b = ca;
• Os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta orientada ou eixo, onde temos um ponto de origem, o zero, e à sua esquerda associam-se ordenadamente os inteiros negativos e à sua direita os inteiros positivos, separados por intervalos de mesmo comprimento;
• Cada ponto da reta orientada é denominado de abcissa;
• Em Z podemos introduzir o conceito de módulo ou valor absoluto: |x| = x se x >= 0 e |x| = -x se x < 0, para todo x pertencente a Z. Como decorrência da definição temos que |x| >= 0 para qualquer número inteiro.

Conjunto dos Números Racionais

O conjunto dos números racionais, simbolizado pela letra Q, é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de uma fração p/q, com p e q inteiros quaisquer e q diferente de zero:

Como todo número inteiro pode ser escrito na forma p/1, então Z é um subconjunto de Q. Valem também para o conjuntos dos números racionais as notações Q* (conjunto dos números racionais não nulos), Q₊ (conjunto dos números racionais não negativos) e Q_- (conjunto dos números racionais não positivos).

Observações:

• São válidas todas as propriedades vistas para o conjunto dos números inteiros;
• Além disso é válida a propriedade simétrico ou inverso para a multiplicação. Isto é, para todo a/b pertencente a Q, a/b diferente de zero, existe b/a em Q tal que (a/b)(b/a) = 1;
• Decorre da propriedade acima que é possível definir a operação de divisão em Q* da seguinte forma (a/b):(c/d) = (a/b).(d/c), para quaisquer a, b, c e d pertencente a Q;
• Todo número racional p/q pode ser escrito como um número decimal exato (ex: 1/2 = 0,5) ou como uma dízima periódica (1/3 = 0,333…).

Números Irracionais

Como o próprio nome sugere um número irracional é todo número não racional, isto é, todo número que não pode ser escrito na forma de uma fração p/q, onde p e q são inteiros e q diferente de zero.

São exemplos de números irracionais a raiz quadrada de 2 e a raiz cúbica de 3, ou seja, nenhum deles pertence a Q.

A título de ilustração vamos demonstrar, pela teoria do absurdo, que a raiz quadrada de 2 não pertence a Q.

Suponhamos que raiz quadrada de 2 é racional e admitamos que possa ser escrita como uma fração irredutível a/b, b diferente de zero:

Da expressão acima concluímos que a ao quadrado é par e que, portanto, a é par. Logo a = 2m, com m inteiro. Substituindo o valor de a na expressão anterior vem que:

Da mesma forma obtemos que b também é par, o que é um absurdo pois a/b é irredutível, ou seja, a e b são primos entre si, e portanto têm como divisor comum apenas o número 1, isto é, mdc(a,b) = 1.

Caso deseje obter maiores informações sobre as operações com números irracionais consulte os artigos publicados no blog na categoria Matemática.

Conjunto dos Números Reais

O conjunto dos números reais, simbolizado pela letra R, é o formado por todos os números racionais e por todos os números irracionais:

R = {x | x é racional ou x é irracional}

Desse modo todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o conjunto dos números irracionais são subconjuntos de R.

Da mesma forma destacamos três outros subconjuntos de R: R* = conjunto dos reais não nulos, R₊ = conjunto dos reais não negativos e R_- = conjunto dos reais não positivos.

Conjunto dos Números Complexos

O conjunto dos números complexos, simbolizado pela letra C, foi criado para dar sentido às raízes de índice par de números negativos, com a definição da unidade imaginária i igual a raiz quadrada de -1, e são constituídos de elementos na forma a + bi, onde a e b são reais. Desse fato temos que R está contido em C.

Referências:

1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
2. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.

Inicio o ano de 2007 com essa curiosidade, com a qual me deparei no site Matemática? Absolutamente!, batizada por seu autor de Quadros Adivinhos. Talvez uma velha conhecida de muita gente, mas ideal para o propósito estabelecido por mim de publicar um post mais ameno, e penso, interessante, para começar “devagarzinho” (ou é “devagarinho”?) o novo ano. Como no processo bafejado aos ventos, comumente denominado de “esquentar as turbinas”.

A página em questão, desenvolvida com a ferramenta Flash (não conheço “bulhufas” da danadinha), fornece uma explicação sobre a montagem dos 8 quadros utilizados para adivinhar um número, pensado por você, entre 0 e 250, e de como estender o limite máximo de escolha para 511 e 1023.

O princípio da montagem dos quadros (ou tabelas) se baseia no fato de que todo número natural pode ser escrito como a soma de potências de base 2, como dito por lá – no site, claro! Ou em outras palavras, na conversão de números naturais – base decimal – para base 2 ou binária.

A adivinhação consiste em responder, passo-a-passo, se o número está ou não em cada uma das 8 tabelas apresentadas, e após a última é exibido o resultado, ou seja, o número pensado por você. Se as respostas fornecidas forem lúcidas, honestas e corretas não tem falha, a nota é 10 sempre (bingo!).

Você, na altura do campeonato, deve estar se perguntando: se a “coisa” está lá feita e em funcionamento, o que “este cara” quer? Quero apresentar o mesmo experimento só que com a rotina desenvolvida em JavaScript e com os três intervalos acima mencionados (0 a 255, 0 a 511 e 0 a 1023) para a escolha do número pensado por você.

O Algorítimo Utilizado

Certamente deve ser o mesmo utilizado no Matemática? Absolutamente!. Mas como não da para saber, vamos lá! Consideraremos o primeiro intervalo, uma vez que para os demais a construção é feita por pura e genuína generalização deste, para as devidas explicações.

Passo 1 – Como é notório e sabido por todos, o número natural 255 é igual a 11111111 (oito Carolinas, lembra da música, “encarrilhados”) em binário ou base 2. Ou seja:

(11111111)₂ = (255)₁₀ = 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ + 2⁰ = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

Passo 2 – O fato nos sugere que as oito tabelas necessárias, no caso do intervalo considerado, iniciem com uma das potências de 2. Isto é, a primeira com o número 1, a segunda com o 2, a terceira com o 4, e assim sucessivamente até cessar, a oito com o 128.

Passo 3 – Os demais números que compõem cada uma das 8 tabelas, exibidos em ordem crescente, são determinados a partir da sua representação binária da seguinte forma: se a primeira posição, da direita para a esquerda, é igual a 1 ele é exibido na primeira tabela, se a segunda posição, na mesma ordem é 1, ele será exibido na segunda, e assim por diante. Por exemplo, o número 255 será mostrado nas oito tabelas e o número 15, cuja representação binária é 00001111, será exibido nas quatro primeiras tabelas e não nas restantes (os zeros à esquerda é só para facilitar o entendimento, viu!).

Passo 4 – Como você é bastante esperto, já percebeu como o resultado é obtido: é suficiente somar (cumulativamente, claro), a cada resposta “sim” a primeira posição da tabela, que nada mais é do que uma potência de 2. Mais uma vez uns exemplos para clarear as idéias:

• Se você pensou no 255, terá que necessariamente responder “sim” para as oito tabelas, o que equivale à soma acima apresentada;
• No outro extremo, se o número escolhido foi o zero, todas as respostas são “não”, e portanto o resultado será igual ao valor inicial atribuído, que é zero que eu não sou “besta” :-);
• E, finalmente, se o número escolhido é o 20 (dia do meu aniversário), cuja representação binária é 00010100, ele aparecerá somente nas tabelas 3 e 5, cujos primeiros números são, respectivamente, 4 e 16.

Não precisava, mais eu vou dizer, que para os outros dois intervalos é só acrescentar as potências de graus 9 e 10 de 2, respectivamente, e seguir os passos 1 a 4 com os devidos ajustes.

A Rotina JavaScript

• Inicialmente é exibida uma caixa de seleção, onde você deve escolher o intervalo do número a ser pensado;
• Feito isto, é exibida a primeira tabela, composta de todos os números ímpares dentro do intervalo selecionado (preciso explicar?), com a fatídica pergunta: “O número que você pensou encontra-se na tabela 1?”, seguida das respostas “Sim” ou “Não” com um link cada que, como eu disse, você deve clicar com a mais pura e sagrada honestidade;
• E o processo é repetido até a oitava (primeiro intervalo), até a nona (segundo intervalo) e até a décima (terceiro intervalo) tabela que são numeradas em vermelho para você não se perder :-), onde, não esqueçam, pelo “amor de Deus”, você deve responder clicando, mais uma vez, honestamente, no “Sim” ou no “Não”;
• E, aí, eis que surge, fagueiro, o resultado mágico, mas esperado, você há de concordar.

Não vou dissertar sobre o código – avisei no começo – mas se você quiser ver e analisar dentro da ótica do aprendizado (meu caso, ao desenvolver) mais do que a da utilidade, ela se encontra “embutida” na página do experimento. Ou então, como “canja” de início de ano, clique aqui (péssimo isto, não?) para exibí-la.

E, para encerrar, mais uma vez, desejo a todos muita paz, muito amor, muitas realizações, …, e muito Viche em 2007. Axé!