Matemática

Achei interessante o conteúdo de um e-mail enviado para mim por uma amiga e o transcrevo a seguir, na íntegra, para a apreciação dos leitores do Viche.

Uma criança que honra e respeita os outros é o reflexo do exemplo dos pais, naturalmente tornar-se-á um adulto comprometido em todos os aspectos, inclusive respeitar o planeta onde vive…

A Evolução da Educação.

Antigamente se ensinava e cobrava tabuada, caligrafia, redação, datilografia… Havia aulas de Educação Física, Moral e Cívica, Práticas Agrícolas, Práticas Industriais e cantava-se o Hino Nacional, hasteando a Bandeira Nacional antes de iniciar as aulas.

Leiam o relato de uma Professora de Matemática:

Semana passada, comprei um produto que custou R$ 15,80. Dei à balconista R$ 20,00 e peguei na minha bolsa 80 centavos, para evitar receber ainda mais moedas. A balconista pegou o dinheiro e ficou olhando para a máquina registradora, aparentemente sem saber o que fazer. Tentei explicar que ela tinha que me dar 5,00 reais de troco, mas ela não se convenceu e chamou o gerente para ajudá-la. Ficou com lágrimas nos olhos enquanto o gerente tentava explicar e ela aparentemente continuava sem entender. Por que estou contando isso?

Porque me dei conta da evolução do ensino de matemática desde 1950, que foi assim:

1. Ensino de matemática em 1950:

Um lenhador vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção é igual a 4/5 do preço de venda. Qual é o lucro?

2. Ensino de matemática em 1970:

Um lenhador vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção é igual a 4/5 do preço de venda ou R$ 80,00. Qual é o lucro?

3. Ensino de matemática em 1980:

Um lenhador vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção é R$ 80,00. Qual é o lucro?

4. Ensino de matemática em 1990:

Um lenhador vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção é R$ 80,00. Escolha a resposta certa, que indica o lucro:

• ( )R$ 20,00
• ( )R$ 40,00
• ( )R$ 60,00
• ( )R$ 80,00
• ( )R$ 100,00

5. Ensino de matemática em 2000:

Um lenhador vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção é R$ 80,00. O lucro é de R$ 20,00.

Está certo?

• ( )SIM
• ( ) NÃO

6. Ensino de matemática em 2009:

Um lenhador vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção é R$ 80,00. Se você souber ler coloque um X no R$ 20,00.

• ( )R$ 20,00
• ( )R$ 40,00
• ( )R$ 60,00
• ( )R$ 80,00
• ( )R$ 100,00

7. Em 2010 vai ser assim:

Um lenhador vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção é R$ 80,00. Se você souber ler coloque um X no R$ 20,00. (Se você é afro descendente, especial, indígena ou de qualquer outra minoria social não precisa responder)

• ( )R$ 20,00
• ( )R$ 40,00
• ( )R$ 60,00
• ( )R$ 80,00
• ( )R$ 100,00

E se um moleque resolve pichar a sala de aula e a professora faz com que ele pinte a sala novamente, os pais ficam enfurecidos, pois a professora provocou traumas na criança.

Essa pergunta foi vencedora em um congresso sobre vida sustentável.

Todo mundo ‘pensando’ em deixar um planeta melhor para nossos filhos… Quando é que ‘pensarão’ em deixar filhos melhores para o nosso planeta?”

Passe adiante!

Precisamos começar JÁ!

Adaptado do livro O Homem Que Calculava, de Malba Tahan.

Escrever, com quatro quatros e sinais matemáticos, uma expressão que seja igual a um número inteiro dado. Na expressão não pode aparecer (além dos quatro quatros) nenhum algarismo ou letra ou símbolo algébrico que envolva letras, tais como: log , lim , etc. Podem entretanto ser utilizados os símbolos de fatorial e raiz quadrada.

Afirmam os pacientes calculistas que é possível escrever, com quatro quatros, todos os números naturais de 0 a 100.

Vi o desafio aqui.

Na tabela a seguir escrevi, obedecendo as regras estabelecidas, os números naturais de 0 a 25. Foi utilizado o fatorial de 4 em algumas das expressões, cuja notação é 4! e cujo valor é igual a 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Não sei se os pacientes calculistas estão com razão, mas se você quiser tentar escrever um ou mais número acima de 25 faça-o nos comentários e quem sabe possamos confirmar o que dizem os calculistas.

Número	Expressão
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
19
20
21
22
23
24
25

O principal recurso do plugin, como indicado no seu nome de batismo, é agrupar posts já publicados ou não. Um exemplo de sua funcionalidade é mostrado a seguir com o agrupamento de quatro artigos sobre Progressões. No entanto, foi desenvolvido, até o momento, apenas o seu “motor”, faltando ainda, pode-se dizer, a parte mais trabalhosa, sua interface de administração.

A continuidade do desenvolvimento e sua disponibilização dependerá do interesse demonstrado pelos leitores do blog, que pode ser manifestado através dos comentários.

• Progressões – Parte I
• Progressões – Parte II
• Exercícios Resolvidos #2 – PA e PG
• Questionarious #3 – Progressões

Progressões – Parte I

junho 15, 2006 | 13:04:37

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Esta matéria aborda o conceito e propriedades de sequência ou sucessão, com ênfase nas que possui uma fórmula bem definida que permite calcular qualquer um de seus termos. Ou seja, das sequências que possuem uma lei de formação que estabelece uma relação entre o valor de seus termos e sua posição.

Especificamente, das duas mais conhecidas: a Progressão Aritmética (PA) e a Progressão Geométrica (PG), dividido em três partes (a primeira este artigo e as demais serão publicadas oportunamente):

• Parte I - teoria sobre PA;
• Parte II - teoria sobre PG;
• Parte III - exercícios resolvidos sobre PA e PG.

Mas antes precisamos conhecer a definição do que seja uma sequência ou sucessão.

Sequências ou Sucessões

Uma sequência ou sucessão é um conjunto ordenado (finito ou infinito) de elementos de qualquer natureza, em que cada elemento fica naturalmente seqüenciado.

Um conjunto ordenado é um conjunto que possui ...

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Progressões – Parte II

junho 17, 2006 | 10:30:37

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Em continuidade ao artigo Progressões - Parte I que trata dos conceitos e propriedades de sequência e da Progressão Aritmética (PA), vamos, agora, fazer a abordagem teórica sobre as Progressões Geométricas (PG).

Progressões Geométricas (PG)

Definição

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao antecessor multiplicado por uma constante q denominada a razão da PG. Ou seja:

a_n = a_n-1.q (n >= 2)

Observe que se a₁ e q são diferentes de zero podemos escrever q = a_n/a_n-1, uma vez que, nessas condições, todos os termos da PG são também diferentes de zero.

Exemplos:

1. (1; 2; 4; 8; 16; ...) onde a₁ = 1 e q = 2;
2. (-2; -6; -18; -54; ...) onde a₁ = -2 e q = 3;
3. (9; 9; 9; 9; ...) onde a₁ = 9 e q = 1;
4. (1; -3; 9; -27; ...) onde a₁ = 1 e q = -3;
5. (20; 0; 0; 0; ...) onde a₁ = 20 e q = 0.

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Exercícios Resolvidos #2 – PA e PG

junho 22, 2006 | 10:19:45

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Com este artigo, a Parte III, estamos concluindo o tema Progressões. As Partes I e II se referem à teoria sobre Sequência e PA e PG, respectivamente, que podem ser consultadas, caso seja necessário, para um melhor entendimento das soluções dos exercícios a seguir.

Os sete primeiros exercícios foram extraídos do sítio Vestibulando Web e suas respostas estão indicadas em negrito. Na mesma página você encontra outros exercícios interessantes, não resolvidos aqui e nem lá, para que você teste seus conhecimentos.

Exercício 1: (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:

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Questionarious #3 – Progressões

julho 9, 2009 | 00:45:30

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Exercícios de Progressões

• Este questionário é composto de dez exercícios, sendo cinco de PA e cinco de PG, extraídos dos quase 300 comentários feitos pelos leitores do Viche no post Exercícios Resolvidos #2 – PA e PG.

  Os exercícios foram selecionados de modo a representar a grande maioria dos questionamentos feitos nos comentários do post mencionado acima.

  As soluções dos exercícios podem ser vistas clicando no ícone em forma de uma lâmpada exibida no final de cada um deles. Tente resolvê-los antes de recorrer a essa funcionalidade de modo a avaliar seus conhecimentos. Marque as respostas que você encontrou para cada um dos exercícios e clique no botão "Enviar" localizado no final do formulário para obter, ao vivo e a cores, o seu resultado.

• Calcule a soma dos 8 primeiros termos da P.G. (4⁰, 4¹, 4², 4³, ...):
  • 21849
  • 20845
  • 21845
  • 22845
  • Nenhuma das respostas anteriores
  • 
  • 
    

    Temos como condição inicial a PG (4⁰, 4¹, 4², 4³, ...), ou seja, (1, 4, 16, 64, ...) que se obtem calculando-se as potências e o número de termos n = 8.

    E o que se quer é a soma desses termos.

    Portanto, para solucionar a questão será necessário, inicialmente, determinar a razão q, e em seguida, aplicar a fórmula da soma de uma PG finita para n = 8. 

    

    A razão q é facilmente obtida dividindo-se o segunto termo pelo primeiro como decorrência da definição de uma PG:

    q = a_2/a₁ = 4/1 = 4

    Logo, da fórmula da soma, substituindo-se a₁ = 1, n = 8 e q = 4, vem que:

    s₈ = 1.(4⁸- 1)/(4 -1) = (65536 - 1)/3 = 65535/3 = 21845

• Quantos termos tem a P.A (4, 7, 10, …, 157)
  • 53
  • 52
  • 60
  • 55
  • 58
  • 
  • 
    

    Condições iniciais:

    • A PA (4, 7, 10, …, 157);
    • O primeiro termo a₁ = 4;
    • O último termo a_n = 157.

    E o que se quer determinar é o valor de n - a quantidade de termos da PA.

    Para tanto é suficiente calcular a razão r e utilizar a fórmula do termo geral de uma PA:

    a_n = a₁ + (n – 1)r

    Pela definição de PA a razão é obtida subtraindo-se qualquer termo, a partir do segundo, pelo seu antecessor. Assim:

    r = 7 - 4 = 3

    Logo, da fórmula e das condições iniciais vem:

    a_n = a₁ + (n – 1)r  => 157 = 4 + (n - 1)3 => 157 = 4 + 3n - 3 => 157 = 1 + 3n

    => 157 - 1 = 3n => 3n = 156 => n = 156/3 => n = 52

• Qual é o 10° termo da PG (20,10,5…):
  • 5/128
  • 5/256
  • 5/512
  • 5/64
  • Nenhuma das respostas anteriores
  • 
  • 
    

    Dados do problema: n = 10 e a PG (20, 10, 5, ...).

    E o que se quer determinar é o valor de a₁₀ - o décimo termo da PG.

    Assim, nada mais natural do que usar a fórmula do termo geral de uma PG para solucionar a questão:

    a_n = a₁.q^n-1

    Observe que temos das condições iniciais a₁ = 20 e n = 10, restando, portanto, a se obter a razão q.

    Mas, para isso, basta utilizar a definição de uma PG, em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao antecessor multiplicado por uma constante q. Logo, por exemplo:

    a₂ = a₁.q => q = a₂/a₁ = 10/20 = 1/2

    E, finalmente, substituindo-se os valores na fórmula geral:

    a_n = a₁.q^n-1 => a₁₀ = 20.(1/2)^10-1 = 20.(1/2)⁹ = 20.(1/512) = 20/512 = 5/128

• Determine o valor da razão de uma PA sabendo-se que:

  a₁ + a₃ + a₅ = 21

  a₂ + a₄ + a₆ = 42

  • -7
  • 8
  • 9
  • 7
  • -9
  • 
  • 
    

    Como nos exercícios anteriores, mais uma vez, faremos uso do termo geral de uma PA para aplicarmos nas equações dadas na questão e transformá-las em um sistema de equações em função de a₁ e r. Assim sendo:

    a₃ = a₁ + (3 - 1)r => a₃ = a₁ + 2r

    a₅ = a₁ + (5 - 1)r => a₅ = a₁ + 4r

    a₂ = a₁ + (2 - 1)r => a₂ = a₁ + r

    a₄ = a₁ + (4 - 1)r => a₄ = a₁ + 3r

    a₆ = a₁ + (6 - 1)r => a₆ = a₁ + 5r

    Substituindo esses valores nas equações dadas:

    a₁ + a₃ + a₅ = 21 => a₁ + a₁ + 2r + a₁ + 4r = 21 => 3a₁ + 6r = 21    [1]

    a₂ + a₄ + a₆ = 42 => a₁ + r + a₁ + 3r + a₁ + 5r = 42 => 3a₁ + 9r = 42   [2]

    De [1] isolando o valor de a₁:

    3a₁ = 21 - 6r => a₁ = (21 - 6r)/3   [3]

    Substituindo o valor de a₁ obtido em [3] na equação [2]:

    3a₁ + 9r = 42 => 3[(21 - 6r)/3] + 9r = 42 => 21 - 6r + 9r = 42 => 3r = 21 => r = 21/3 = 7

• Sabendo-se que (x, x+9, x+45), x diferente de zero, formam uma PG, determine o valor de x:
  • 5
  • 4
  • 3
  • 2
  • 1
  • 
  • 
    

    Utilizando a definição de PG, em que a₁ = x, a₂ = x + 9 e a₃ = x + 45 temos:

    a₂ = a₁.q => x + 9 = x.q   [1]

    a₃ = a₂.q => x + 45 = (x + 9)q   [2]

    Isolando o valor de q em [1]:

    q = (x + 9)/x

    Substituindo q em [2]

    x + 45 = (x + 9)[(x + 9)/x] => x(x + 45) = (x+ 9)²

    => x² + 45x = x² + 18x + 81 => x² + 45x - x² - 18x = 81 => 27x = 81 => x = 81/27 = 3

• O décimo termo da PA (a, 3a/2, …) é igual a:
  • 11a/2
  • 9a/2
  • 7a/2
  • 13a/2
  • 15a/2
  • 
  • 
    

    Condições iniciais: PA (a, 3a/2, ...), onde a₁ = a e a₂ = 3a/2.

    O que se quer determinar é obtido da fórmula do termo geral de uma PA:

    a₁₀ = a₁ + (10 -1)r = a + 9r    [1]

    Restando, portanto, para concluir a solução do exercício determinar o valor de r. Isto é feito a partir da definição de uma PA:

    a₂ = a₁ + r => 3a/2 = a + r => r = (3a/2) - a = (3a - 2a)/2 = a/2 

    Substituindo em [1] vem:

    a₁₀ = a + 9(a/2) = (2a + 9a)/2 = 11a/2

• A soma dos três primeiros termos de uma PG é igual a 39 e o produto entre eles é 729. Calcule os três numeros:
  • 3, 9 e 27
  • 4, 8 e 16
  • 5, 10, 20
  • Nenhuma das respostas anteriores
  • 
  • 
    

    Condições iniciais da questão:

    a₁ + a₂ + a₃ = 39

    a₁.a₂.a₃ = 729

    Para calcular os três termos da PG é suficiente determinar a razão q e o primeiro termo a₁. A partir da fórmula do termo geral da PG obtemos para as duas equações acima:

    a₁ + a₁q + a₁q² = 39 => a₁ + a₁q +a₁q.q = 39  [1]

    a₁.a₁q.a₁q² = 729 => a₁³q³ = 729 = 3⁶ => (a₁q)³ = 3⁶ => a₁q = 3² = 9   [2]

    Substituindo o valor de a₁q em [1]:

    a₁ + 9 + 9q = 39 => a₁ = 39 - 9 - 9q = 30 - 9q

    E, agora, substituindo o valor de a₁ em [2]:

    (30 - 9q)q = 9 => 30q - 9q² = 9 => 9q² -30q + 9 = 0

    Calculando as raízes da equação do segundo grau obtemos q₁ = 3 e q₂ = 1/3, e de [2] vem que:

    a₁ = 9/3 = 3 para q = 3 => PG (3. 9, 27)

    a₁ = 9/(1/3) = 27 para q = 1/3 => PG (27, 9, 3)

    E, portanto, os três termos das PG's são 3, 9 e 27. Observe que as PG's satisfazem as condições iniciais com relação a soma e ao produto.

    Observe que a fatoração de 729 = 3⁶ = 3.3².3³ e que desse fato poderíamos concluir a resposta.

• Calcule a soma dos numeros inteiros positivos inferiores a 501 e que não sejam divisíveis por 7:
  • 106358
  • 120655
  • 156897
  • 129654
  • 107358
  • 
  • 
    

    Condições inciais: PA (1,2,3,...,500) de razão igual 1 e que na soma de seus termos deve ser subtraída a soma dos termos múltiplos de 7 (7, 14, 21, ..., b_n), que formam outra PA de razão 7 cujo primeiro termo é b₁ = 7.

    Para determinar b_n, o último termo da segunda PA, observe que a divisão de 500 por 7 tem resto 3 e desse fato concluímos que b_n = 500 - 3 = 497, ou seja, o maior múltiplo de 7 menor que 500. Resta ainda calcular o número de termos dessa PA, necessário, como veremos, para calcular a soma da PA, o qual  é obtido pelo uso da fórmula do termo geral:

    b_n = b₁ + (n - 1)r => 497 = 7 + (n - 1).7 => 497 = 7 + 7n - 7 => n = 497/7 = 71

    Agora, vamos calcular a soma conforme solicitado na questão. Para isso deveremos calcular a soma dos números inteiros positivos inferiores a 500 (S₁) e subtrair da soma da PA composta dos múltiplos de 7 (S₂).

    Primeiro calculemos S_{1 usando a fórmula da soma de uma PA}:

    S₁ = [(a₁ + a_n)n]/2 = [(1 + 500)500]/2 = 125250

    e, em seguida, calcular S2:

    S₂ = [(b₁ + b_n)n]/2 = [(7 + 497)71]/2 = (504.71)/2 = 17892

    para finalmente obtermos o resultado pedido:

    S = S₁ - S₂ = 125250 - 17892 = 107358

• Encontre a razão positiva em que os termos de uma PG satisfaça as igualdades a₁ + a₄ = 27 e a₃ + a₆ = 108:
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 2
  • 
  • 
    

    Condições iniciais: q > 0 e

    a₁ + a₄ = 27   [1]

    a₃ + a₆ = 108  [2]

    Para se obter a razão q vamos, primeiramente, reescrever as equações [1] e [2] utilizando a fórmula do termo geral de uma PG:

    [1] => a₁ + a₁q³ = 27 => a₁(1 + q³) = 27 => 1 + q³ = 27/a₁

    [2] => a₁q² + a₁q⁵ = 108 => a₁q²(1 + q³) = 108 => 1 + q³ = 108/a₁q²

    Igualando os resultados, vem que:

    27/a₁ = 108/a₁q² => 27a₁q² = 108a₁ => 27q² = 108 => q² = 108/27 = 4

    e, portanto:

    q = ±2

    Como a razão solicitada é maior que 0, concluí-se que q = 2.

• Determine a PA em que o primeiro termo é o dobro da razão e o trigésimo termo é igual a 93:
  • (3, 6, 9, 12, ..., 93)
  • (9, 12, 15, 18, ..., 93)
  • (6, 9, 12, 15, ..., 93)
  • Nenhuma das respostas anteriores
  • 
  • 
    

    Condições iniciais:

    a₁ = 2r   [1]

    a₃₀ = 93   [2]

    Para solucionar o exercício é suficiente determinar o primeiro termo e a razão da PA. 

    Da igualdade [2] vem, utilizando-se a fórmula do termo geral da PA, que:

    a₃₀ = a₁ + (30 - 1)r  => 93 = a₁ + 29r   [3]

    Substituindo o valor de a1 (igualdade [1]) em [3]:

    93 = 2r + 29r => 31r = 93 => r = 93/31 = 3

    Daqui e de [1] segue que:

    a₁ = 2r = 6

    Logo a PA é:

    (6, 9, 12, 15, ..., 93)

Pesquisando no Google, me deparei com a página Fatos Curiosos! Você seria capaz de provar tais fatos? e dentre eles, em um total de cinco e bem interessantes, selecionei o Fato 4 que transcrevo a seguir, aceitando o desafio explícito no seu título:

Se você somar 1 ao produto de quatro números inteiros consecutivos, o resultado sempre será um quadrado perfeito.

Em outros termos, o que devemos demonstrar é:

Dado um número x inteiro qualquer o resultado da operação R = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 será sempre um quadrado perfeito, isto é, um número inteiro elevado ao quadrado.

Então, vamos começar, como não poderia deixar de ser, realizando umas “continhas” utilizando-se da propriedade distributiva da multiplicação, para reescrever R:

R = (x² + x)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x³ + 2x² + x² + 2x)(x + 3) + 1    =>

R = (x³ + 3x² + 2x)(x + 3) + 1 = x⁴ + 3x³ + 3x³ + 9x² + 2x² + 6x + 1

Agrupando os termos de R, na expressão acima, obtemos:

R = (x⁴ + 6x³ + 9x²) + 2(x² + 3x) + 1

Agora, repare bem, bem mesmo, na primeira expressão entre parêntesis, lembre-se do velho e conhecido Produtos Notáveis e conclua comigo que:

R = (x² + 3x)² + 2(x² + 3x) + 1  [1]

Para facilitar o entendimento final da demonstração, vamos definir y como:

y = (x² + 3x)   [2]

e substituir em [1] para concluir que:

R = y² + 2y + 1 = (y + 1)² [3]

é um quadrado perfeito, onde em [3], mais uma vez, utilizamos a propriedade dos produtos notáveis: Quadrado da soma de dois números. Tem dúvidas, consulte o artigo indicado no link acima sobre o tema.

Para finalizar, vamos a um exemplo: dado x = 4 vem que R = (4×5×6×7) + 1 = 841. Tudo bem, até aí está fácil. Mas como saber se 841 ou um número bem maior é um quadrado perfeito sem muito esforço – extração da raiz quadrada.

Tranquilo. Utilize a expressão [2] para determinar y = (16 + 12) = 28 e substitua em [3] para concluir que R = 29² = 841.

O Thiago Cavalcanti, do Design Com Bolachas, enviou recentemente um comentário me indagando se seu conhecia o Mind Reader.

Como você pode verificar acessando a página indicada no link acima, o Mind Reader, sugerido pelo Thiago, consiste em selecionar um número de dois dígitos em um tabela, subtrair do número selecionado a soma dos dois dígitos que o compõe, localizar na mesma tabela o símbolo correspondente ao resultado assim obtido, clicar em uma bola de cristal e bingo, surge como um passe de mágica o símbolo “pensado”.

À primeira vista parece algo sobrenatural, demoníaco, mágico! Exageros a parte, na verdade, trata-se de algo bastante simples como você verá a seguir.

Inicialmente, vamos abordar de forma genérica a operação aritmética utilizada no Mind Reader, ou seja, dado um número de dois dígitos – representaremos por [xy] -, x diferente de zero, subtraia desse número o resultado da soma x + y:

MR = [xy] – (x + y)

Já sabemos de tempos idos que todo número de dois dígitos pode ser escrito na forma:

[xy] = 10x + y

Substituindo o valor de [xy] na expressão anterior:

MR = 10x + y – (x + y) = 10x + y – x – y = 9x

obtemos que o resultado da operação aritmética utilizada pelo Mind Reader é sempre um múltiplo de 9.

Logo os valores possíveis para o resultado da operação são 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 ou 81 para x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 respectivamente. Em outras palavras, ao selecionarmos um número entre 10 e 19, em que x = 1, teremos como resultado 9, entre 20 e 29, em que x = 2, teremos como resultado 18, e, assim sucessivamente até x = 9, para os números entre 90 e 99, em que teremos como resultado 81.

Agora, para finalizar, observe que a cada vez que a tabela é exibida na página indicada inicialmente, àqueles valores (9, 18, …) corresponde sempre o mesmo símbolo.

E, portanto, o Mind Reader acerta sempre e o mistério está desvendado por Mister N!

Dado qualquer número com três algarismos, repita este número em sua frente e divida o número assim construído por 13. Em seguida, pegue o resultado dessa divisão e divida por 11, e, novamente, divida o resultado obtido por 7. O resultado final será sempre o número inicialmente escolhido.

Para não haver dúvidas quanto à questão colocada, vamos a um exemplo prático:

Seja 564 o número escolhido. Repetindo o número na frente do número dado obtemos o número 564564.

Dividindo esse número por 13:

564564/13 = 43428

Dividindo o resultado da divisão anterior por 11:

43428/11 = 3948

E, finalmente, dividindo esse resultado por 7, obtemos o número inicialmente escolhido:

3948/7 = 564

Faça outros exemplos e você verá que o resultado será, de fato, sempre o número escolhido inicialmente. Por que? Alguém se candidata a explicar aí nos comentários?

A categoria Viche Responde estava submersa. Na tentativa de trazê-la a tona farei um esforço para publicar a solução de uma ou mais questões por semana ou, na pior circunstância, uma ou mais por quinzena, selecionadas entre as propostas pelos leitores nos comentários dos artigos e, claro, que estejam relacionadas ao assunto lá abordado.

Retomo com uma questão de Progressão Aritmética relativamente simples, pelo menos para mim ;-), agregando à solução em si o detalhamento de um método de como penso se deva proceder para interpretar e resolver questões de matemática.

Proponente

Marcelo Augusto

Questão

Quantos números inteiros compreendidos entre 1 e 500 são divisíveis por 3 e por 7 ao mesmo tempo?

Condições – O que se tem:

O primeiro passo é o estabelecimento das condições iniciais da questão, as quais podem ser extraídas facilmente do enunciado:

1. Os números inteiros são divisíveis por 3 e 7 ao mesmo tempo;
2. E estão compreendidos entre 1 e 500.

Parece óbvio esse passo, e é na maioria das vezes, mas se trata de um procedimento essencial da solução.

Tese – O que se quer:

A quantidade de números inteiros que satisfazem as condições iniciais.

Solução:

a) Analisando a Condição 1:

Para que um número inteiro seja divisível por outros dois números inteiros ao mesmo tempo é suficiente que ele seja divisível pelo mínimo múltiplo comum entre eles. Como os números 3 e 7 são primos entre si, uma vez que o m.d.c.(3,7) = 1, os números que satisfazem essa condição devem ser múltiplos de 3 x 7 = 21 = m.m.c.(3,7).

Desse fato concluimos que os números formam a sequência:

(21, 42, 63, …, a_n)

e que essa sequência é uma PA de razão r = 21, pois a diferença entre um termo, a partir do segundo, e seu antecedente é sempre 21 e onde, por enquanto, desconhecemos quanto valem a_n e n, os quais serão determinados a partir da condição 2. Note que n é a quantidade procurada.

b) Analisando a condição 2:

Como os números devem estar compreendidos entre 1 e 500 temos que:

a₁ = 21 > 1 e a_n < 500

Para concluir a solução do problema basta, então, determinar o valor de n.

E isso é feito a partir da fórmula do termo geral de uma PA:

a_n = a₁ + (n – 1)r = 21 + (n – 1)21 = 21 + 21n – 21 = 21n < 500

Da desigualdade acima obtemos que:

n < 500/21 => n < 23,809…

E, finalmente, que o maior termo (a_n = 21 x 23 = 483) da seqüência que satisfaz a condição 2 é o obtido quando n = 23, que é a quantidade de números procurada.

Adição

É a operação que tem por fim determinar uma fração que contenha todas as unidades e partes de unidades de várias parcelas de mesma natureza.

Entende-se por mesma natureza as frações que exprimem as mesmas partes da unidade, ou seja, que tenham o mesmo denominador, também conhecidas como homogêneas (2/8, 3/8 e 5/8 é um exemplo de tais frações).

Distinguem-se três casos na adição de frações.

A1. Soma ou adição de frações homogêneas ou de mesmo denominador.

Como fazer – Somam-se os numeradores e conserva-se o denominador comum.

Exemplo:

Como o denominador representa em quantas partes a unidade foi dividida, lembram-se, basta, para obter o número das partes, somar os numeradores.

Na figura a seguir temos uma pizza – prato comum em Brasília – servida para você e um amigo dividida em oito partes iguais (faça um esforço!). Se você come dois pedaços e seu amigo três, os dois juntos consumiram cinco partes em oito, ou seja, cinco oitavos da pizza.

A2. Adição de frações que não têm o mesmo denominador comum (frações heterogêneas).

Inicialmente, atente que não podemos somar quantidades de “coisas” diferentes e expressar o resultado em uma dessas “coisas”. Clareando: não podemos somar 5 maçãs e 3 bananas e dizer que o resultado é 8 maças ou 8 bananas.

Assim para somar frações heterogêneas é necessário, primeiro, transformar cada parcela nas mesmas partes da unidade, isto é, em frações que tenham o mesmo denominador comum.

Em resumo:

Como fazer – Para somar frações que não tenham o mesmo denominador, é preciso reduzi-las ao mesmo denominador e aplicar, então, a regra do primeiro caso A1.

Exemplo: Somar as frações 2/3, 5/8 e 1/6.

Utilizando-se da regra 2 de redução de frações ao mesmo denominador comum (veja a Parte II), temos que o mmc(3,6,8) = 24 e:

A3. Somar números mistos.

Como fazer:

• Método 1: Para somar números mistos, somam-se primeiro as partes fracionárias, depois as partes inteiras, acrescentando-lhes também os inteiros obtidos na adição das partes fracionárias;
• Método 2: Para somar números mistos, reduza-os, primeiro, a frações impróprias e após proceda como no caso A2.

Exemplo: Somar os números mistos e , pelo método 1. E você resolve pelo método 2, ok :-).

Pelo dito no método 1, temos:

Subtração

É a operação que tem por objetivo tirar de um número dado todas as unidades e partes da unidade de outro número de mesma natureza.

Observação: No que se segue não serão considerados os casos em que o minuendo é menor do que o subtraendo, pois requer o conhecimento da teoria dos números relativos. Mas as regras em si permanecem válidas para quem é detentor do assunto.

Da mesma forma que na adição temos três casos que se distinguem na subtração.

S1. Subtração de duas frações com o mesmo denominador.

Como fazer – Subtrai-se o numerador da menor do numerador da maior e conserva-se o denominador comum.

Exemplo:

S2. Subtração de duas frações que não têm o mesmo denominador.

Lembrem-se, como colocado para a adição, que somente podemos subtrair quantidades de mesma natureza.

Como fazer – Da mesma forma que na adição, para se obter a subtração de frações heterogêneas, é preciso, primeiro, reduzi-las ao mesmo denominador, e, então, aplicar o caso S1.

Exemplo:

S3. Subtração de números mistos

• Método 1: Para subtrair dois números mistos, subtraem-se primeiro as partes fracionárias, depois as partes inteiras e somam-se os resultados;
• Método 2: Para subtrair dois números mistos, reduza-os, primeiro, a frações impróprias e após proceda como no caso S2.

Exemplo (método 2): Convertendo os números mistos dados na subtração para frações impróprias:

E reduzindo ao mesmo denominador comum – mmc(3,5)=15:

Multiplicação

A multiplicação de frações é a operação na qual partindo-se de duas frações dadas se obtem uma terceira que corresponde ao produto das duas anteriores.

M1. Multiplicar uma fração por outra.

Como fazer. Para se multiplicar uma fração por outra, multiplicam-se seus numeradores para obter o numerador da fração produto e seus denominadores para obter o denominador da fração produto.

Exemplo:

Observação: Para se multiplicar um inteiro por uma fração ou uma fração por um inteiro basta multiplicar esse inteiro pelo numerador da fração ou o numerador da fração por esse inteiro. É só notar que um numero inteiro pode ser representado por uma fração cujo denominador é um, por exemplo, 5 = 5/1, e chegamos no caso M1, em que o denominador não se altera uma vez que é multiplicado por um.

M2. Produto de várias frações: É o resultado obtido multiplicando a primeira fração pela segunda; depois este produto pela terceira, e assim sucessivamente, até a última fração.

Observe que o produto de frações se faz da mesma forma que o produto de números inteiros e que o resultado, no caso das frações, é obtido pela aplicação repetida do caso M1.

Como fazer – Multiplicam-se os numeradores entre si para obter o numerador do produto e os denominadores entre si para obter o denominador do produto.

Exemplo:

Os cálculos acima poderiam ser simplificados, suprimindo-se os fatores comuns ao numerador e ao denominador, antes de efetuá-los, como indicado a seguir:

Divisão

Divisão de frações é a operação que tem por fim, dadas duas frações, dividendo e divisor, achar uma terceira, o quociente, tal que multiplicada pelo divisor, reproduza o dividendo.

D1. Dividir uma fração por um inteiro

Como fazer – Para se dividir uma fração por um inteiro multiplica-se o denominador pelo iinteiro.

Exemplo:

D2. Dividir um inteiro por uma fração.

Como fazer – Multiplica-se o inteiro pela fração invertida.

Exemplo:

D3. Dividir uma fração por outra.

Como fazer – Multiplica-se a fração do dividendo pela fração do divisor invertida. Em outras palavras conserva-se a primeira (dividendo) e multiplica-se pelo inverso da segunda (divisor).

Exemplo:

Observações Finais

• O inverso de um número é o quociente de 1 por este número. Exemplos: o inverso de 2 é 1/2, o inverso de 3/5 é 5/3 e o de 1/5 é 5;
• Duas frações são inversas quando o numerador de cada uma é o denominador da outra;
• Quando duas frações têm o mesmo denominador, o quociente entre elas é igual à fração formada pelo numerador da primeira sobre o da segunda. Exemplo (1/5):(3/5) = 1/3;
• O produto de dois números inversos é sempre 1;
• Dois números são recíprocos quando o seu produto é igual à unidade.

Referências:

Elementos de Aritmética, Curso Superior – Para o curso colegial e admissão às escolas superiores, do Irmão Isidoro Dumont, Coleção de Livros Didáticos F. T. D, publicado em 26/10/1945.

Vamos abordar neste post as propriedades referentes à redução de frações. Alguns conceitos aqui utilizados encontram-se no post Frações – Parte I que podem – e devem – ser consultados em caso de dúvidas.

Redução de Frações

Reduzir uma fração é transformá-la em uma outra equivalente.

Tá legal. Mas o que são frações equivalentes? São aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração, ou seja, é a fração obtida, de uma outra, multiplicando-se ou dividindo-se o seu numerador e o denominador por um mesmo número diferente de zero (veja propriedade 6 da primeira parte).

Exemplo: . Veja que a segunda fração é obtida a partir da primeira multiplicando-se o seu numerador e seu denominador por 3. Inversamente, a primeira é obtida da segunda dividindo-se o seu numerador e seu denominador, também, por 3.

Os principais procedimentos de redução de frações são:

1. Reduzir inteiros a frações impróprias;
2. Reduzir números mistos a frações impróprias;
3. Extrair inteiros de frações impróprias;
4. Simplificar frações;
5. Reduzir frações ao mesmo denominador.

1. Reduzir inteiros a frações impróprias

Simples. É suficiente multiplicar o número inteiro escolhido por outro número inteiro – de preferência diferente de um – e compor a fração imprópria com o numerador igual ao produto obtido e o denominador igual ao multiplicador – o outro número.

Exemplo. Seja reduzir 7 inteiros a terços:

2. Reduzir números mistos a frações impróprias

Para se reduzir um número misto a fração imprópria, multiplica-se a sua parte inteira pelo denominador da parte fracionária e, ao produto adiciona-se o numerador da parte fracionária. Ao total obtido dá-se por denominador o da parte fracionária.

Exemplo. Seja reduzir 5 inteiros e 3/8 (três oitavos) a oitavos.

Como a unidade vale 8 oitavos, 5 unidades valem 5×8 ou 40 oitavos, os quais adicionados aos três oitavos dão 43 oitavos:

3. Extrair inteiros de frações impróprias

Para se extrair os inteiros de uma fração imprópria, isto é, transformá-la em um número misto, divide-se primeiro o numerador pelo denominador. O quociente dessa divisão representa os inteiros – parte inteira do número misto – e, caso haja resto, este será o numerador da parte fracionária cujo denominador é o da fração original.

Exemplo. Extrair os inteiros da fração imprópria 43/8.

Como a unidade vale 8 oitavos (8/8), temos na fração dada 5 unidades que cabem em 43 (5 x 8 = 40) e sobram 3 oitavos. Em outras palavras, a divisão de 43 por 8 tem como quociente o inteiro 5 e resto 3. Portanto, pela regra, vem;

4. Simplificar frações

Simplificar uma fração é reduzir esta fração à uma fração mais simples mantendo-se a proporção da fração original. E o princípio que norteia a simplificação de frações é: uma fração não se altera quando dividimos seus termos por um mesmo número diferente de zero (veja propriedade 6 do artigo anterior).

Observe que para simplificar frações é necessário que haja um divisor comum, além da unidade, aos seus termos. E, torná-la irredutível é obter a fração equivalente em que o único divisor comum aos seus termos é a unidade, ou seja, quando o mdc – máximo divisor comum – entre o numerador e o denominador é igual a 1, o que é o mesmo que os seus dois termos serem primos entre si.

Exemplo. Simplificar a fração 6/18.

Primeiro observe que seus termos são múltiplos de 2. E, portanto, ela pode ser simplificada efetuando-se a divisão de seus termos por 2:

O procedimento acima é, de fato, uma simplificação, uma vez que houve a redução a uma fração mais simples em que a proporção foi mantida. No entanto, ainda não se encontra em sua forma irredutível, pois o 3 é um divisor comum aos termos da fração resultante. Assim, efetuando mais uma simplificação, dividindo-se os termos por 3, vem:

obtendo-se a sua forma irredutível, uma vez que o mdc(3,1) = 1, isto é, 1 e 3 são primos entre si.

Teorema 1. Para reduzir uma fração à sua forma irredutível, é suficiente dividir os seus dois termos pelo seu mdc.

De fato, ao se dividir os dois termos de uma fração pelo seu mdc, obtem-se quocientes primos entre si, e portanto formam uma fração irredutível. Além do mais, essa fração é igual à fração original uma vez que foi obtida dividindo-se seus dois termos por um mesmo número.

No exemplo anterior o mdc(18,6) = 6 = 2 x 3, os fatores utilizados para se determinar a forma irredutível da fração dada. O mesmo resultado, claro, seria obtido se efetuassemos a divisão por 6.

5. Reduzir frações ao mesmo denominador

Reduzir frações ao mesmo denominador é determinar frações equivalentes às frações dadas e que tenham o mesmo denominador.

Novamente, o princípio em que se baseia a redução de frações ao mesmo denominador é o estabelecido na propriedade 6 do artigo anterior: Uma fração não se altera quando os seus dois termos são multiplicados pelo mesmo número diferente de zero.

Regra 1. A regra mais simples de se reduzir várias frações ao mesmo denominador é multiplicar os dois termos de cada uma pelo produto dos denominadores de todas as outras.

Exemplo 1. Reduzir ao mesmo denominador as frações 3/5 e 6/7.

Aplicando a regra 1, vem:

e

Como você é esperto deve ter notado que as frações obtidas são equivalentes às primitivas, pois resultaram da propriedade acima apontada e têm o mesmo denominador, igual ao produto dos denominadores das frações originais.

Exemplo 2. Reduzir ao mesmo denominador as frações 1/2, 2/3, 3/4.

Pela regra 1:

Regra 2. Redução de frações ao mesmo denominador comum utilizando-se o mmc (mínimo múltiplo comum). Pela própria definição de mmc o denominador assim obtido será o menor denominador comum das frações equivalentes, o que só ocorrerá pela regra 1 se os denominadores das frações dadas forem primos entre si. Passos:

• Simplificar as frações (não necessário, mas recomendado, pois facilita os cálculos);
• Determinar o mmc dos denominadores das frações originais ou simplificadas. Este será o denominador comum das frações equivalentes;
• Multiplicar o numerador de cada fração pelo quociente entre o mmc e o denominador desta fração. Este procedimento determina o numerador das frações equivalentes.

Exemplo. Reduzir ao mesmo denominador as frações do exemplo 2 da regra 1.

Primeiro passo: não se faz necessário pois todas as frações estão na forma irredutível.

Segundo passo: O mmc(2,3,4) = 12. Este será o denominador comum.

Terceiro passo: N1 = (12/2)x1 = 6; N2 = (12/3)x2 = 8; N3 = (12/4)x3 = 9, onde N1, N2 e N3 são os numeradores das frações equivalentes.

Logo as frações equivalentes são: 6/12; 8/12 e 9/12.

Referências:

Elementos de Aritmética, Curso Superior – Para o curso colegial e admissão às escolas superiores, do Irmão Isidoro Dumont, Coleção de Livros Didáticos F. T. D, publicado em 26/10/1945