Exercícios Propostos

Determinar o conjunto X tal que:

• {a,b}
• {a,c,e}
• {b,d,e)
• {c,d,e}
• {a,b,c,d}
• 
• 
  

  De {b,c,d} ∩ X = {c} tiramos da definição de interseção de conjuntos que:

  c ε X e que b e d não pertencem a X

  Da igualdade {c,d} U X = {a,c,d,e} e da definição de união de conjuntos pode-se concluir que:

  a, c, d e e são possíveis elementos de X

  Mas como d não pode pertencer a X em decorrência da primeira igualdade acima, temos, até aqui, que X = {a,c,e}

  E finalmente, de {a,b,c,d} U X = {a,b,c,d,e}, concluímos de forma análoga à colocada para a segunda igualdade que:

  a, b, c, d e e são possíveis elementos de X

  E, como b e d não pertencem a X, concluímos então que X = {a,c,e}.

  Para comprovar verifique que as três igualdades dadas são verdadeiras para X = {a,c,e}

• 384 e 52
• 332 e 31
• 332 e 83
• 384 e 83
• Nenhuma das respostas anteriores
• 
• 
  

  Sejam:

  U = {alunos da escola}

  E = {alunos que estudam inglês}

  F = {alunos que estudam francês}

  Dados da questão:

  n(U) = 415, onde n(U) representa o número de elementos de U

  n(E) = 221

  n(F) = 163 

  n(E ∩ F) = 52

  Logo para determinar quantos alunos estudam inglês ou francês - n(E U F) - basta utilizar a seguinte propriedade dos conjuntos, cuja demonstração não será feita aqui. No entanto você pode verificar, intuitivamente, a sua veracidade através de um diagrama de Euler-Venn:

  n(E U F) = n(E) + n(F) - n(E ∩ F) = 221 + 163 - 52 = 332

  Como 332 são os alunos que estudam uma língua, vem que o número de alunos que não estudam nenhuma das duas é:

  n(U) - n(E U F) = 415 - 332 = 83

Sejam A, B e C três conjuntos finitos. Sabendo-se que:

n(X U Y) = n(X) + n(Y) - n(X ∩ Y) [1]

é verdadeira para quaisquer conjuntos finitos X e Y, onde a notação n(Z) representa a quantidade de elementos do conjunto Z, então n(A U B U C) é igual a:

• n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B ∩ C)
• n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(C ∩ A) - n(A ∩ B ∩ C)
• n(A) + n(B) + n(C) + n(A ∩ B ∩ C)
• n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)
• Nenhuma das respostas anteriores
• 
• 
  

  Fazendo Z = A U B, obtemos:

  n(A U B U C) = n(Z U C)

  De [1] - dado da questão - e em seguida substituindo o valor de Z vem:

  n(Z U C) = n(Z) + n(C) - n(Z ∩ C) = n(A U B) + n(C) - n((A U B) ∩ C)

  Usando [1] novamente para n(A U B):

  n(Z U C) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) + n(C) - n((A U B) ∩ C) [2]

  Observe que o último termo de [2] pode ser escrito como indicado abaixo utilizando-se da propriedade distributiva da intersecção em relação à união:

  (A U B) ∩ C = (A ∩ C) U (B ∩ C)

  Logo:

  n((A U B) ∩ C) = n((A ∩ C) U (B ∩ C)) = n(A ∩ C) + n(B ∩ C) - n(A ∩ B ∩ C) [3]

  Substituindo [3] em [2], trocando o sinal:

  n(Z U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

• A ∩ B tem no máximo 1 elemento
• A U C tem no máximo 5 elementos
• (A ∩ B) ∩ C tem no máximo 2 elementos
• (A U B) ∩ C tem no máximo 2 elementos
• A ∩ Ø tem pelo menos dois elementos
• 
• 
  

  Analisando cada resposta:

  A ∩ B tem no máximo 1 elemento: é falsa pois A tem 2 elementos e se ambos também pertencerem a B a interseção terá 2 elementos.

  A U C tem no máximo 5 elementos: também é falsa, uma vez que se os elementos de A são diferentes dos elementos de C, a união terá 6 elementos.

  (A ∩ B) ∩ C tem no máximo 2 elementos: é verdadeira pois A ∩ B pode ter no máximo 2 elementos e ocorrerá quando A estiver contido em B. Por raciocínio análogo se A ∩ B estiver contido em C, a expressão dada poderá ter no máximo 2 elementos.

  (A U B) ∩ C tem no máximo 2 elementos: é falsa pois A U B pode ter 3, 4 ou 5 elementos e se pelo menos três deles estiver em C, o resultado terá 3  elementos.

  A ∩ Ø tem pelo menos dois elementos: Esta é obviamente falsa, não é?

(CESGRANRIO-77) A interseção dos três conjuntos

R ∩ C, (N ∩ Z) U Q e N U (Z ∩ Q)

é:

• N
• Ø
• Q
• R
• Z
• 
• 
  

  Observe que:

  R ∩ C = R

  pois R - o conjunto dos números reais - está contido em C - o conjunto dos números complexos.

  De modo semelhante podemos concluir que: 

  (N ∩ Z) U Q = N U Q = Q

  N U (Z ∩ Q) = N U Z = Z

  Logo a intersecção dos três conjuntos é:

  R ∩ Q ∩ Z = Z

(CESCEA-69) Dados os conjuntos A = {a,b,c}, B = {b,c,d} e C = {a,c,d,e}, o conjunto

(A - C) U (C - B) U (A ∩ B ∩ C)

é:

• {a,b,c,e}
• {a,c,e}
• A
• {b,d,e}
• {b,c,d,e}
• 
• 
  

  Primeiro vamos determinar o resultado de cada operação entre colchetes. Assim:

  A - C = {b} - conjunto dos elementos que estão em A mas não estão em C.

  C - B = {a,e} - conjunto dos elementos que estão em C mas não estão em B.

  A ∩ B ∩ C = {a,b,c}∩ {b,c,d}∩ {a,c,d,e} = {c} - o único elemento comum aos três conjuntos.

  Logo a união dos três conjuntos é igual a:

  {a,b,c,e} 

• A U B = {2,4,0,-1}
• A ∩ (B - A) = Ø
• A ∩ B = {-1,4,2,0,5,7,3}
• (A U B) ∩ A = {-1,0}
• Nenhuma das respostas anteriores
• 
• 
  

  Para obter a resposta correta do exercício é necessário analisar cada uma das opções:

  A U B = {2,4,0,-1}: Falsa já que A U B = {1,2,-1,0,4,3,5,7).

  A ∩ (B - A) = Ø: Verdadeira, pois B - A = {7} e o elemento 7 não pertence a A.

  A ∩ B = {-1,4,2,0,5,7,3}: Falsa. A ∩ B = {2,-1,0,4,5}

  (A U B) ∩ A = {-1,0}: Falsa. Como A está contido em A U B, a intersecção desse resultado com A é o próprio A.

A) 2^x+3 = 2^x.2³
B) (25)^x = 5^2x
C) 2^x + 3^x = 5^x

• Somente a sentença A) é verdadeira
• Somente a sentença B) é verdadeira
• Somente a sentença C) é verdadeira
• Somente a sentença B) é falsa
• Somente a sentença C) é falsa
• 
• 
  

  Para responder a questão é necessário analisar individualmente cada uma das três sentenças dadas.

  A) É verdadeira em decorrência da propriedade do produto de potências de mesma base: conserva-se a base e somam-se os expoentes;

  B) Podemos escrever como:

  (25)^x = (5²)^x = 5^2x

  Na passagem para a segunda igualdade foi utilizada a propriedade: A potência n da potência m de um número relativo a é igual a potência de a cujo expoente é o produto dos expoentes m e n.

  Logo B) também é verdadeira.

  C) A sentença é obviamente falsa, pois na soma de potências não é viável estabelecer qualquer regra. Para calcular soma de potências é necessário efetuar o cálculo de cada parcela e após somá-las.

  No entanto, observe que a sentença é verdadeira para x = 1. Mas, por exemplo, para x = 2 a igualdade não ocorre:

  2² + 3² = 4 + 9 = 13 e 5² = 25

  E portanto, concluímos que a resposta correta é: Somente a sentença C) é falsa. 

O valor da expressão:

é:

• 5^1/6
• 5^1/4
• 5^1/8
• 5^1/2
• Nenhuma das respostas anteriores
• 
• 
  

  Da propriedade "a raiz de índice m de uma raiz de índice n de a é igual à raiz de índice mn de a", cuja demonstração foi feita no post Exercícios Resolvidos #3 - Radiciação, Exercício 1, obtemos:

  

  
  Na última iguldade foi utilizada a seguinte propriedade: "A raiz de índice n da potência de grau m de a é igual à potência de grau m/n de a", com a = 5, m = 1 e n = 8.
  

• 40
• (1/2)^-8
• -40
• 1/40
• Nenhuma das respostas anteriores
• 
• 
  

  A solução do exercício é consequência direta do uso da propriedade da potenciação a^-m = 1/a^m e da divisão de frações:

  (1/2)^-3 + (1/2)^-5 = 1/(1/2)³ + 1/(1/2)⁵ = 1/(1/2³) + 1/(1/2⁵) =>

  (1/2)^-3 + (1/2)^-5 = 1.(2³/1) + 1.(2⁵/1) = 2³ + 2⁵ = 8 + 32 = 40

• 2⁷
• 2⁹
• 2⁸
• 2¹⁰
• 2⁵⁷
• 
• 
  

  Observe que o numerador da fração pode ser escrito como:

  2²⁸ + 2³⁰ = 2²⁸ + 2²⁸.2² 

  Colocando o termo comum às duas parcelas em evidência vem:

  2²⁸ + 2³⁰ = 2²⁸(1 + 2²) = 2²⁸.5

  Substituindo o valor na fração:

  (2²⁸ + 2³⁰)/10 = 2²⁸.5/10 = 2²⁸/2 = 2²⁷

  E, finalmente, extraindo a raiz cúbica de 2²⁷ obtemos que o valor da expressão é:

  2⁹

• 1/2
• 1/8
• 4/15
• 16/15
• Nenhuma das respostas anteriores
• 
• 
  

  Mais uma vez vamos utilizar a propriedade da potenciação a^-m = 1/a^m e de operações com fações para obter o resultado do exercício:

  E = (3^-1 + 5^-1)/2^-1 = (1/3 + 1/5)/(1/2)

  Determinando o mmc dos denominadores das frações 1/3 e 1/5, que é igual a 15, e somando essas frações:

  E = [(5 + 3)/15]/(1/2) = (8/15)/(1/2)

  Para concluir basta utilizar a propriedade da divisão de frações "conserva-se a primeira e multiplica-se pelo inverso da segunda":

  E = (8/15).(2/1) = 16/15

• 36
• 26
• 24
• 34
• 44
• 
• 
  

  Inicialmente fatore 576, ou seja transforme 576 no produto de potências, cujas bases são números primos:

  576 | 2
  
  288 | 2
  
  144 | 2
  
  072 | 2
  
  036 | 2
  
  018 | 2
  
  009 | 3
  
  003 | 3
  
  001 | 1

  Do procedimento acima vem, então, que:

  √576 = √2⁶.3² = √2⁶.√3² = 2³.3 = 24

  Nas passagens das igualdades acima foram utilizadas as seguintes propriedades:

  • A raiz enésima do produto a.b é igual ao produto das raízes enésimas de a e b. Na solução: n = 2, a = 2⁶ e b = 3²;
  • A raiz enésima de a elevado a m é igual a raiz de índice n/p de a elevado a m/p obtida dividindo-se o índice e o radicando por p. Na solução acima foi utilizada a propriedade para n =2, p = 2 e m = 6 no primeiro fator e m = 2 no segundo.

• a⁴
• aⁿ
• a²ⁿ
• a⁶
• a⁵
• 
• 
  

  A solução da questão é bem simples e é feita pela aplicação direta da seguinte propriedade: no produto de potências de mesma base, conserva-se a base e soma-se os expoentes.

  Logo:

  a²ⁿ⁺¹.a^1-n.a^3-n = a^2n+1+1-n+3-n =  a⁵

Efetue a operação

• 23
• 34
• 3^1/2
• 33
• 50
• 
• 
  

  Reescrevendo cada radical da expressão entre parênteses, onde são utilizados a fatoração dos radicandos e a propriedade da raiz de um produto, obtemos:

  

  

  

  Agora, substituindo os valores obtidos na expressão:

  

  

• a
• a^m-n
• a^2m
• a^m2
• Nenhuma das respostas anteriores
• 
• 
  

  Mais um exercício simples que visa fixar a propriedade do produto de potências de mesma base, e portanto, de rápida e fácil solução:

  a^m.a^m = a^m+m = a^2m

O valor de n é:

• 1
• 2
• 3
• 4
• Nenhuma das respostas anteriores
• 
• 
  

  Calculemos primeiro o valor da expressão do lado esquerdo da igualdade:

  

  Substituindo o valor obtido na igualdade dada, temos:

  

  De [1] vem pela definição de radiciação que:

  

  em decorrência do fato de que potências iguais de mesma base têm necessariamente os expoentes iguais.