Curiosidades

Inicio o ano de 2007 com essa curiosidade, com a qual me deparei no site Matemática? Absolutamente!, batizada por seu autor de Quadros Adivinhos. Talvez uma velha conhecida de muita gente, mas ideal para o propósito estabelecido por mim de publicar um post mais ameno, e penso, interessante, para começar “devagarzinho” (ou é “devagarinho”?) o novo ano. Como no processo bafejado aos ventos, comumente denominado de “esquentar as turbinas”.

A página em questão, desenvolvida com a ferramenta Flash (não conheço “bulhufas” da danadinha), fornece uma explicação sobre a montagem dos 8 quadros utilizados para adivinhar um número, pensado por você, entre 0 e 250, e de como estender o limite máximo de escolha para 511 e 1023.

O princípio da montagem dos quadros (ou tabelas) se baseia no fato de que todo número natural pode ser escrito como a soma de potências de base 2, como dito por lá – no site, claro! Ou em outras palavras, na conversão de números naturais – base decimal – para base 2 ou binária.

A adivinhação consiste em responder, passo-a-passo, se o número está ou não em cada uma das 8 tabelas apresentadas, e após a última é exibido o resultado, ou seja, o número pensado por você. Se as respostas fornecidas forem lúcidas, honestas e corretas não tem falha, a nota é 10 sempre (bingo!).

Você, na altura do campeonato, deve estar se perguntando: se a “coisa” está lá feita e em funcionamento, o que “este cara” quer? Quero apresentar o mesmo experimento só que com a rotina desenvolvida em JavaScript e com os três intervalos acima mencionados (0 a 255, 0 a 511 e 0 a 1023) para a escolha do número pensado por você.

O Algorítimo Utilizado

Certamente deve ser o mesmo utilizado no Matemática? Absolutamente!. Mas como não da para saber, vamos lá! Consideraremos o primeiro intervalo, uma vez que para os demais a construção é feita por pura e genuína generalização deste, para as devidas explicações.

Passo 1 – Como é notório e sabido por todos, o número natural 255 é igual a 11111111 (oito Carolinas, lembra da música, “encarrilhados”) em binário ou base 2. Ou seja:

(11111111)₂ = (255)₁₀ = 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ + 2⁰ = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

Passo 2 – O fato nos sugere que as oito tabelas necessárias, no caso do intervalo considerado, iniciem com uma das potências de 2. Isto é, a primeira com o número 1, a segunda com o 2, a terceira com o 4, e assim sucessivamente até cessar, a oito com o 128.

Passo 3 – Os demais números que compõem cada uma das 8 tabelas, exibidos em ordem crescente, são determinados a partir da sua representação binária da seguinte forma: se a primeira posição, da direita para a esquerda, é igual a 1 ele é exibido na primeira tabela, se a segunda posição, na mesma ordem é 1, ele será exibido na segunda, e assim por diante. Por exemplo, o número 255 será mostrado nas oito tabelas e o número 15, cuja representação binária é 00001111, será exibido nas quatro primeiras tabelas e não nas restantes (os zeros à esquerda é só para facilitar o entendimento, viu!).

Passo 4 – Como você é bastante esperto, já percebeu como o resultado é obtido: é suficiente somar (cumulativamente, claro), a cada resposta “sim” a primeira posição da tabela, que nada mais é do que uma potência de 2. Mais uma vez uns exemplos para clarear as idéias:

• Se você pensou no 255, terá que necessariamente responder “sim” para as oito tabelas, o que equivale à soma acima apresentada;
• No outro extremo, se o número escolhido foi o zero, todas as respostas são “não”, e portanto o resultado será igual ao valor inicial atribuído, que é zero que eu não sou “besta” :-);
• E, finalmente, se o número escolhido é o 20 (dia do meu aniversário), cuja representação binária é 00010100, ele aparecerá somente nas tabelas 3 e 5, cujos primeiros números são, respectivamente, 4 e 16.

Não precisava, mais eu vou dizer, que para os outros dois intervalos é só acrescentar as potências de graus 9 e 10 de 2, respectivamente, e seguir os passos 1 a 4 com os devidos ajustes.

A Rotina JavaScript

• Inicialmente é exibida uma caixa de seleção, onde você deve escolher o intervalo do número a ser pensado;
• Feito isto, é exibida a primeira tabela, composta de todos os números ímpares dentro do intervalo selecionado (preciso explicar?), com a fatídica pergunta: “O número que você pensou encontra-se na tabela 1?”, seguida das respostas “Sim” ou “Não” com um link cada que, como eu disse, você deve clicar com a mais pura e sagrada honestidade;
• E o processo é repetido até a oitava (primeiro intervalo), até a nona (segundo intervalo) e até a décima (terceiro intervalo) tabela que são numeradas em vermelho para você não se perder :-), onde, não esqueçam, pelo “amor de Deus”, você deve responder clicando, mais uma vez, honestamente, no “Sim” ou no “Não”;
• E, aí, eis que surge, fagueiro, o resultado mágico, mas esperado, você há de concordar.

Não vou dissertar sobre o código – avisei no começo – mas se você quiser ver e analisar dentro da ótica do aprendizado (meu caso, ao desenvolver) mais do que a da utilidade, ela se encontra “embutida” na página do experimento. Ou então, como “canja” de início de ano, clique aqui (péssimo isto, não?) para exibí-la.

E, para encerrar, mais uma vez, desejo a todos muita paz, muito amor, muitas realizações, …, e muito Viche em 2007. Axé!

Quem disse que com os dedos das mãos só podemos contar até dez?

E se eu afirmar que você pode contar até 1023?

E, além disso, se acrescentarmos os dedos dos pés podemos contar até 1.040.575?

Você acreditaria?

Não! Então veja aqui como (em inglês, sorry!): Instructables

Quer saber o que se pode fazer mais com os dedos (em português)? Será que eu preciso dizer para clicar no link da pergunta anterior? Acho que não, a curiosidade é uma “coisa” irresistível :-).

Minha idéia inicial era escrever sobre a validação de campos de formulário, uma operação relativamente simples, com o uso da ferramenta AJAX. Mudei de rumo (fica para outra oportunidade, a ver se interessa) em função do que digo um pouco mais abaixo (vocês, certamente, vão descobrir) para abordar dois aspectos relacionados, que considero, como os principais e os mais importantes, sobre o assunto:

1. Usabilidade;
2. Validação do lado do servidor com a linguagem utilizada na aplicação em uso ou em desenvolvimento e/ou do lado do cliente com JavaScript.

Quanto ao primeiro item a boa prática recomenda que devemos fazer o possível (ou até o impossível) para impedir que erros ocorram. E, se por acaso, não puder ser feito procure informar (o “jeito” deixo por sua conta) a seus usuários os erros ocorridos tão logo possa.

No entanto, mesmo com as técnicas hoje existentes para evitar (será?) a situação e melhorar a interação com o usuário, é comum se deparar com formulários, as vezes até extensos, em que recebemos a resposta de erro após clicar no famigerado (nestes casos) botãozinho do Submit, Ok, Enviar ou qualquer outro nome que venha a ter. E o que é pior, retorna o erro com o formulário totalmente em branco.

Se o seu browser não estiver parametrizado com o autocomplete ou algo como no FF – Memorizar dados fornecidos a formulários e ao campo de pesquisa -, o único jeito é redigitar tudo. Só faço isso em caso de total interesse, mas mesmo assim desabafo: p#*% que p*&%@. Quando parametrizado basta digitar a(s) primeira(s) letra(s) ou número(s) e aparece a “janelinha” milagrosa para selecionar a informação o que, apenas, ameniza o desabafo.

Quem não passou por essa situação levante o dedo ou, se sim, desabafe nos comentários, mas com bastante calma, heim!

No WordPress, se você não tiver um plugin ou template com JavaScript/AJAX, a validação do formulário de contato, por exemplo, ocorre, como padrão, do lado do servidor. Pelo menos a experiência não é tão dolorosa pois ele retorna com a mensagem dos erros ocorridos e com a informação dos campos digitados anteriormente.

Aliás, foi esse fato que me motivou a escrever este artigo, quando resolvi testar o formulário de contato aqui do Viche. Ele faz exatamente como dito acima, só que as mensagens de erro estão escritas em inglês quando retorna. A mancada permanece só para “inglês ver”.

Resolvi, então, perambular por alguns blogs e sites dos quais assino o feeds (de famosos, pretendentes a, e nem tanto) e me deparei com situações como:

1. Inexistência de formulário de contato (até aqui, tudo bem, a opção é de cada um. E viva a democracia!);
2. Formulários com erros (literalmente);
3. Formulários que criticam de forma eficiente, do lado do cliente, os campos Nome e E-Mail, mas deixam enviar (pelo menos não deu aviso) com o campo Mensagem em branco;
4. Parceiros meus, que retornam a(s) mensagem(ns) de erro em inglês (boa companheiro!) ou mista (português-inglês ou vice-versa);
5. Formulários que criticam todos os campos do lado do cliente com JavaScript (caixa de alerta), porém, quando desabilitei (o JavaScript, claro!) ficou “mudinho”, ou seja, não deu erro e nem mensagem de confirmação (se foi para a caixa postal do autor, sabe-se lá);
6. Sem a adequada informação de quais campos são obrigatórios;
7. Formulários que criticam apenas do lado do servidor, mas com mensagens de erro em português e a validação correta (meus parabéns).

Diante dos fatos apontados será o caso de se criar uma nova campanha, a do Formulator Validator Tabajara? Se não for o caso, dê uma testadinha básica no seu formulário de contato, desde que disponibilizado (óbvio!), e nos:

• informe em qual categoria acima você está; ou
• acrescente uma nova, a lista;
• alternativamente, você pode sugerir um nome para a campanha :-).

Para encerrar, sou a favor do e para a validação de formulário (veja item 2. no início do artigo), apesar do duplo esforço. E você, diga aí o que acha e qual a razão?

A potenciação nos fornece um meio simples, prático e rápido para calcularmos a potência de grau 2 de um número inteiro, comumente conhecida como o quadrado desse número.

Como todos sabem, o meio em questão, corresponde ao produto (multiplicação) do número por ele mesmo, ou seja:

5² = 5 x 5 = 25

Mas, Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo, inventou uma regra diferente (e um pouco mais complicada, convenhamos) para obter o resultado da potência de grau 2 de um número, que consiste em:

O quadrado de um número inteiro n é igual a soma dos n primeiros números inteiros ímpares.

Para números pequenos vemos, facilmente, que a afirmação é verdadeira, através do uso direto do enunciado. Vejam:

• 1² = 1 (n = 1)
• 2² = 1 + 3 = 2 x 2 = 4 (n = 2)
• 5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 x 5 = 25 (n = 5)
• 7² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 7 x 7 = 49 (n = 7)

E como saber que a afirmação é válida para o número 5.227, por exemplo? No “braço” é extremamente trabalhoso comprovar, pois teríamos que somar os primeiros 5.227 números inteiros ímpares e, após, verificar que o resultado é igual ao quadrado de 5.227.

No entanto, se observarmos com um pouquinho mais de atenção veremos que a sequência formada pelos primeiros n números ímpares:

(1, 3, 5, 7, …., a_n)

é uma Progressão Aritmética (PA) de razão r = 2, onde a_n representa o enésimo termo ou o enésimo número ímpar.

Desse fato é suficiente, agora, utilizarmos das propriedades de uma PA. Mais especificamente das fórmulas do termo geral e da soma dos termos de uma PA finita, para demonstrarmos que Pitágoras esta com toda a razão (não a da PA).

Primeiro vamos determinar o valor de a_n em função de n:

a_n = a₁ + (n – 1)r = 1 + (n – 1)2 = 2n – 1

Para concluirmos, mostrando que a soma S_n é igual a n²:

S_n = [(a₁ + a_n)n]/2 = [(1 + 2n - 1)]n/2 = 2n²/2 = n²

Pronto! não é que o homem tinha razão?

Visite o Cabeçolinha – a bola (de gude) da vez.

Esta, considero, talvez erroneamente, uma curiosidade que exponho para os mais entendidos no assunto.

Outro dia resolvi colocar no blog o selo do Page Rank na barra vertical de navegação da página principal (Home), localizada à sua direita, porque já havia percebido uma “incongruência”.

O resultado oscilava entre 2 e 5 logo após a recente divulgação do novo valor do indicador feita pelo Google. Tanto na extensão que tenho instalada no FF, como na barra do Google para o IE, quanto no site PRchecker.info.

Depois de um tempo a “coisa” estabilizou com o PR igual a 5 em todos os medidores utilizados por mim, inclusive no selo da barra vertical. Pois não é que hoje o selo voltou a apresentar o valor igual a 2 enquanto nos demais, veja a imagem abaixo montada na data de publicação deste post, o valor 5.

Não entendi. Alguém aí do lado de lá pode “matar” a minha curiosidade, antes que o selo volte ao normal :-)? E, afinal de contas, o Viche tem PR = 2 ou PR = 5?

[Update: 24/10/2006] O placar, às 20:49, é 5 para todos os medidores, inclusive para o selo. Eita! Ops, Viche!

powered by performancing firefox

Ao folhear o livro Elementos de Aritmética, Curso Superior – Para o curso colegial e admissão às escolas superiores, do Irmão Isidoro Dumont, Coleção de Livros Didáticos F. T. D, publicado em 26/10/1945 (isto mesmo! 61 anos atrás) encontrei, no Capítulo II – Operações sôbre Números Inteiros, os conceitos a seguir relacionados:

• As demonstrações baseiam-se em certos princípios, chamados teoremas e axiomas;
• Axioma é um princípio cuja verdade é de si evidente;
• Teorema é um princípio cuja verdade não é evidente por si mesma; deve ser demonstrado com auxílio de axiomas ou de teoremas já demonstrados;
• O enunciado de um teorema compreende duas partes: hipótese e conclusão;
• Hipótese é a afirmação, simples ou condicionada, de uma propriedade que se quer demonstrar.
• Conclusão é a consequência que o raciocínio deduz da hipótese;
• Consequência ou corolário é uma verdade que decorre de um ou mais princípios já demonstrados.
• Lema é um teorema que prepara a demonstração de outro;
• Problema é uma questão a resolver;
• As relações existentes entre os números dados e os desconhecidos formam as condições do problema;
• Resolver um problema é encontrar os números desconhecidos que satisfazem às condições desse problema;
• A resolução de um problema compreende a solução e o cálculo;
• Solução é a série de raciocínios que levam ao resultado pedido;
• Cálculo é a execução das operações indicadas pela solução.

E, ainda mais, relaciona os principais axiomas usados na Aritmética:

1. O todo é maior do que uma parcela;
2. O todo é igual à soma das parcelas;
3. Se de um todo tirarmos uma parcela, o resto será a outra parcela ou o conjunto das outras parcelas;
4. Duas quantidades iguais a uma terceira são iguais entre si.

Simplesmente fantástico!!!

Estes dias recebi um E-Mail de um amigo com o título “Como Pode??” e a questão abaixo, com a seguinte solicitação “me explica matematicamente”.

A matemática tem coisas que nem Pitágoras explicaria. Aí vai uma delas…

Pegue uma calculadora porque não dá pra fazer de cabeça, a não ser que você seja um gênio, ou seja parecido comigo…

1. Digite os 4 primeiros algarismos de seu telefone (não vale número de Celular);
2. multiplique por 80;
3. some 1;
4. multiplique por 250;
5. some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone;
6. some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone de novo;
7. diminua 250;
8. divida por 2…

Reconhece o resultado?

Para essa eu tiro o chapéu…

Antes de explicar, algumas observações quanto ao texto recebido (está tal e qual ou sem tirar nem por):

• Tem um pouco de exagero (nem Pitágoras…) e se aplica, na verdade, a qualquer número com oito algarismos, e sómente com oito;
• Daí a observação no item 1: não vale número de celular, o que indica se tratar de um problema antigo, da época em que existia número de celular com sete algarismos (salvo engano, a exigência da Anatel já foi aplicada em todo o Território Nacional);
• O charme da “mágica” está, em envolver no item 1, algo de pessoal do questionado – o número de seu telefone no lugar de um número qualquer com oito algarismos. Talvez, por isso, a afirmação (Para essa eu tiro o chapéu…). E o “Reconhece o resultado?”, como você já percebeu, será o número do telefone do questionado.

Vamos, agora, desvendar a mágica, primeiro estabelecendo onde os passos de 1 a 8 sempre vai levar (a tese) e a seguir o porquê (a demonstração).

Sejam P1 o número obtido a partir dos 4 primeiros algarismos de um número de telefone qualquer com oito algarismos (ou de um número qualquer com oito algarismos) e P2 o obtido pelos quatro últimos algarismos. Então o resultado dos passos 1 a 8 acima é sempre:

10000P1 + P2

que nada mais é do que o número do telefone representado de outra maneira. Pois, se você observar, ao multiplicarmos P1 (4 primeiros algarismos) por 10000 obtemos um outro número formado por P1 com quatro zeros no final, que somado a P2 (os outros 4 algarismos) resulta no dito cujo.
Demonstração:

Seguindo os passos:

passo 1: P1 é digitado;

passo 2: 80P1 -> multiplicado por 80;

passo 3: 80P1 + 1 -> somado 1;

passo 4: (80P1 + 1)250 -> multiplicado por 250;

passo 5: (80P1 + 1)250 + P2 -> somado P2;

passo 6: (80P1 + 1)250 + P2 + P2 -> somado P2 novamente;

passo 7: [(80P1 + 1)250 + P2 + P2] – 250 -> diminuido 250;

passo 8: {[(80P1 + 1)250 + P2 + P2] – 250}/2 = R -> dividido por 2;

E resolvendo a expressão (R) obtida no passo 8 vem:

R = {[20000P1 + 250 + 2P2] – 250}/2 =>

R = {20000P1 + 2P2}/2 => R = 10000P1 + P2

Em outras palavras, os passos 2, 4 e 8 definem o produto de P1 por 10000 (80*250/2). O 3 e o 7, junto com o 4, na verdade soma e subtrai 250, e portanto de efeito nulo. E, finalmente, o 6 e o 7 geram como resultado 2P2, que no passo 8 se transforma em P2. As operações são direcionados intencionalmente para se obter o resultado esperado e criar um “clima” de aparente complexidade.

Identificação da Questão

Proponente

Evandro Lopes de Oliveira

O que Faz

Sistema de Informação/Análise de Sistemas

Onde

Faculdade de Computação de Montes Claros, Minas Gerais

Questão

Qual é a regra para determinar o último digito do resultado de x = 37¹⁸ + 42¹⁵ + 9³²

Introdução

Como se trata de uma questão que traz embutida um certo grau de curiosidade e aparente complexidade, decidi iniciar com ela a abertura de uma nova categoria de posts. O nome escolhido para batizá-la, VICHE Responde, foi o sugerido pelo Maujor nos comentários do artigo sobre Radiciação.

A idéia é criar um canal específico de interação com os leitores do VICHE para responder questões propostas e relacionadas aos artigos de Matemática aqui publicados. Lembro, apenas, que ficam restritas às condições alinhavadas nos parágrafos iniciais do artigo acima mencionado.

Acrescento, à essas condições, que não publicarei a solução de todas as questões, reservando-me o direito de escolha. Porém, esclareço que continuarei respondendo, por E-Mail, às questões não publicadas da mesma forma que venho fazendo até então (claro, desde que eu saiba!).

Solução:

A solução se baseia nas regras a seguir:

• No produto de dois números inteiros o último dígito (ud) do resultado é obtido a partir do produto das unidades desses números, não havendo necessidade de ter o cálculo efetuado para determiná-lo. Por exemplo, 12 x 266 = 3192 e 2 x 6 = 12, onde se tem que o ud do produto é igual a 2. Veja que bastava, como dito, efetuar o produto 2 x 6;
• Lembrando que a potência de grau n de um número a, n inteiro, é igual ao produto de n fatores iguais a a, temos, pela observação acima, que o ud de uma dada potência é obtido da potência de mesmo grau de sua unidade (up). Exemplificando: o ud de 37¹⁸ é o mesmo que o de 7¹⁸;
• Com esses dois fatos restringimos a obtenção do ud de uma potência à potência de sua unidade. Abaixo são apresentadas as potências de grau 1 a 7, o seu resultado e o ud deste resultado, dos números 2, 3, 4, 7, 8 e 9. Para as potências dos números 0, 1, 5 e 6 não há necessidade, uma vez que qualquer potência desses números tem como ud ele próprio. Ou seja, o ud, por exemplo, de 25436³⁴⁵⁵ é igual a 6;
• Simplificando ainda mais: observe na tabela, linha identificada por Último Dígito, que determinado o ud da potência de grau 2 de um número, o ud das demais potências é obtido do produto desse número pelo ud da potência anterior. Isto é, considerando o número 3 temos: 3² = 9, 9 x 3 = 27, 7 x 3 = 21, 1 x 3 = 3, 3 x 3 = 9 e 9 x 3 = 27;
• Finalmente, observe que para cada número na tabela existe uma quantidade de ud´s – indicados em laranja – que passam a se repetir na mesma ordem, a partir do último, de forma cíclica. No caso do 2: quantidade de ud´s diferentes 4 (q = 4), ud₂ = 4, ud₃ = 8, ud₄ = 6 e ud₅ = 2, onde o subscrito indica a potência correspondente. E o grau (ou expoente) da última potência (ug) antes do início da repetição é igual a 5.

Aplicando as regras para 37¹⁸ temos, utilizando os últimos dígitos da tabela para o número 7, que:

Pela propriedade cíclica obtemos:

Donde se conclui que o ud de 37¹⁸ é igual a 9.

O processo acima detalhado tem um caráter apenas didático, pois já pensou se a potência fosse 120 e não 18?

Para resolver este dilema vamos ao passo final, analisando o mesmo caso tratado sobre uma ótica que facilite a nossa vida:

Temos q = 4, ug = 5 e up = 7. Portanto, restam 13 fatores para completar o expoente da potência (n = 18). Como q = 4 temos 3 ciclos completos e resta 1 (13 = 3 x 4 + 1). Daqui se conclui que o ud da potência é o da primeira posição do ciclo e portanto igual a 9.

Para 42¹⁵: q = 4, ug = 5 e up = 2 => resto[(15 - 5)/4] = 2. Pela tabela temos que ud = 8.

Para 9³²: q = 2, ug = 3 e up = 9 => resto[(32-3)/2] = 1. Logo ud = 1.

Portanto o ud de x é igual a 8, que corresponde ao ud da soma dos ud´s das parcelas 9 + 8 + 1 = 18.

No meu tempo, quando estava a aprender multiplicação, era adotado como material didático a velha tabuada composta de pelo menos nove páginas. Uma para a tabuada do 1, outra para a do 2, e assim em diante. Cada página com 10 linhas, onde cada linha tinha a indicação do produto e seu resultado (2 x 1 = 2, …, 2 x 10 = 20). Se o seu objetivo é obter a tabuada de multiplicação de um número clique aqui.

Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo (veja há quanto tempo!), inventou a tabela abaixo, na qual é possível efetuar todas as operações de multiplicação existentes na velha tabuada. E tudo em um único lugar.

Para se calcular, por meio desta tabela, o produto de dois números, 5 x 9 por exemplo, basta localizar o multiplicando (5) na primeira linha e o multiplicador (9) na primeira coluna. O resultado do produto está no encontro da linha com a coluna.

Observe que alguns conceitos adicionais podem ser explorados a partir daqui:

• O de uma composição tabular (matriz) – não estou dizendo que uma criança vá entendê-lo em toda a sua plenitude;
• Mostrar que em uma multiplicação a ordem dos fatores não altera o resultado, fazendo a operação 9 x 5 diretamente na tabela;
• Obter resultados de divisões exatas, claro dentro deste universo. Por exemplo: 36:9.

A tabuada de Pitágoras, é óbvio, deve ser utilizada dentro dos mesmos princípios didáticos e curriculares da tabuada tradicional, ou seja, após as devidas explicações do que seja uma multiplicação e uma divisão. No entanto, acredito que o uso da tabuada de Pitagóras tornaria, pelo menos, o aprendizado mais divertido.

A composição da tabela é bem simples: na coluna um encontram-se “os resultados da tabuada do 1″, na dois “os resultados da tabuada do 2″, e assim por diante.

Você sabia que é possível determinar o resultado de uma subtração (o maior menos o menor) entre um número real qualquer composto por três algarismos diferentes (por exemplo: 547) e seu inverso (no sentido de trás para frente: 745), a partir da informação da unidade ou centena desse resultado?

Em linguagem mais sofisticada:

Dados os números reais a e b, 10 < a,b < 1000, onde a é composto de três algarismos distintos e b é igual a a na ordem inversa (ou seja, se a tem a composição “xyz”, x, y e z números reais diferentes entre si, representando a centena, dezena e unidade de a, respectivamente, então b tem a composição “zyx”), é possível determinar o resultado da subtração do maior deles pelo menor, a partir da informação da unidade ou da centena do resultado, isto é, se a > b e a – b tem a composição “def”, conhecido f ou d, a unidade ou centena do resultado, então é possível determinar este resultado.

Exemplificando:

Se a = 745 (x = 7, y = 4, z = 5), então b = 547 e a – b = 745 – 547 = 198 (d = 1, e = 9, f = 8 ). A unidade do resultado é igual a 8 (f) e a centena 1 (d). A partir de f ou de d é possível determinar o resultado (198).

DEMONSTRAÇÃO:

Seja “xyz” a composição de a. Como x representa a centena, y a dezena e z a unidade de a, então:

a = 100x + 10y + z.

Por definição, b tem a composição “zyx” e por analogia:

b = 100z + 10y + x.

Portanto, considerando que a > b, temos x > z (representam as centenas de a e b) e substituindo a e b por seus valores obtemos:

a – b = 100x + 10y + z – (100z + 10y + x)

Eliminando os parenteses efetuando a multiplicação por -1, a famosa troca de sinal:

a – b = 100x + 10y + z – 100z – 10y – x

Efetuando as operações com os termos comuns, ou seja, 100x – x = 99x, 100z – z = 99z e 10y – 10y = 0:

a – b = 99x – 99z

Colocando 99 em evidência – termo comum às duas parcelas:

a – b = 99(x – z)

Até aqui, fica demonstrado que o resultado da diferença entre a e b será sempre um múltiplo de 99.

Como nas duas parcelas y não muda de posição, permanecendo na casa das dezenas e x > z, então o “e” da composição do resultado (“def”) será sempre igual a 9 (lembra do tira 1 dos tempos da aritmética!). E, para finalizar a demonstração, como o resultado será sempre um múltiplo de 99, necessariamente, também, será um múltiplo de 9. Pelo princípio da divisibilidade a soma dos algarismos de um múltiplo de 9 é também um múltiplo de 9 (o zero não vale!!). Como já estabelecemos que e = 9, então d + f = 9.

Agora ficou “mole”. Retornando ao exemplo do início, suponha que algum colega, amigo ou parente seu escolha exatemente o número ali indicado e informe que a centena do resultado é 1 (d) – ou a unidade é 8 (f), tanto faz. Como sabemos que e = 9 (sempre) e d + f = 9 => 1 + f = 9 => f = 9 – 1 = 8. Montando agora a composição “def” teremos 198. VICHE!

Finalmente, observem que o universo de resultados é bastante restrito. Mas dá para se divertir e possivelmente deixar alguém “invocado” com a mágica.