Curiosidades

Achei interessante o conteúdo de um e-mail enviado para mim por uma amiga e o transcrevo a seguir, na íntegra, para a apreciação dos leitores do Viche.

Uma criança que honra e respeita os outros é o reflexo do exemplo dos pais, naturalmente tornar-se-á um adulto comprometido em todos os aspectos, inclusive respeitar o planeta onde vive…

A Evolução da Educação.

Antigamente se ensinava e cobrava tabuada, caligrafia, redação, datilografia… Havia aulas de Educação Física, Moral e Cívica, Práticas Agrícolas, Práticas Industriais e cantava-se o Hino Nacional, hasteando a Bandeira Nacional antes de iniciar as aulas.

Leiam o relato de uma Professora de Matemática:

Semana passada, comprei um produto que custou R$ 15,80. Dei à balconista R$ 20,00 e peguei na minha bolsa 80 centavos, para evitar receber ainda mais moedas. A balconista pegou o dinheiro e ficou olhando para a máquina registradora, aparentemente sem saber o que fazer. Tentei explicar que ela tinha que me dar 5,00 reais de troco, mas ela não se convenceu e chamou o gerente para ajudá-la. Ficou com lágrimas nos olhos enquanto o gerente tentava explicar e ela aparentemente continuava sem entender. Por que estou contando isso?

Porque me dei conta da evolução do ensino de matemática desde 1950, que foi assim:

1. Ensino de matemática em 1950:

Um lenhador vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção é igual a 4/5 do preço de venda. Qual é o lucro?

2. Ensino de matemática em 1970:

Um lenhador vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção é igual a 4/5 do preço de venda ou R$ 80,00. Qual é o lucro?

3. Ensino de matemática em 1980:

Um lenhador vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção é R$ 80,00. Qual é o lucro?

4. Ensino de matemática em 1990:

Um lenhador vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção é R$ 80,00. Escolha a resposta certa, que indica o lucro:

• ( )R$ 20,00
• ( )R$ 40,00
• ( )R$ 60,00
• ( )R$ 80,00
• ( )R$ 100,00

5. Ensino de matemática em 2000:

Um lenhador vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção é R$ 80,00. O lucro é de R$ 20,00.

Está certo?

• ( )SIM
• ( ) NÃO

6. Ensino de matemática em 2009:

Um lenhador vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção é R$ 80,00. Se você souber ler coloque um X no R$ 20,00.

• ( )R$ 20,00
• ( )R$ 40,00
• ( )R$ 60,00
• ( )R$ 80,00
• ( )R$ 100,00

7. Em 2010 vai ser assim:

Um lenhador vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção é R$ 80,00. Se você souber ler coloque um X no R$ 20,00. (Se você é afro descendente, especial, indígena ou de qualquer outra minoria social não precisa responder)

• ( )R$ 20,00
• ( )R$ 40,00
• ( )R$ 60,00
• ( )R$ 80,00
• ( )R$ 100,00

E se um moleque resolve pichar a sala de aula e a professora faz com que ele pinte a sala novamente, os pais ficam enfurecidos, pois a professora provocou traumas na criança.

Essa pergunta foi vencedora em um congresso sobre vida sustentável.

Todo mundo ‘pensando’ em deixar um planeta melhor para nossos filhos… Quando é que ‘pensarão’ em deixar filhos melhores para o nosso planeta?”

Passe adiante!

Precisamos começar JÁ!

Adaptado do livro O Homem Que Calculava, de Malba Tahan.

Escrever, com quatro quatros e sinais matemáticos, uma expressão que seja igual a um número inteiro dado. Na expressão não pode aparecer (além dos quatro quatros) nenhum algarismo ou letra ou símbolo algébrico que envolva letras, tais como: log , lim , etc. Podem entretanto ser utilizados os símbolos de fatorial e raiz quadrada.

Afirmam os pacientes calculistas que é possível escrever, com quatro quatros, todos os números naturais de 0 a 100.

Vi o desafio aqui.

Na tabela a seguir escrevi, obedecendo as regras estabelecidas, os números naturais de 0 a 25. Foi utilizado o fatorial de 4 em algumas das expressões, cuja notação é 4! e cujo valor é igual a 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Não sei se os pacientes calculistas estão com razão, mas se você quiser tentar escrever um ou mais número acima de 25 faça-o nos comentários e quem sabe possamos confirmar o que dizem os calculistas.

Número	Expressão
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
19
20
21
22
23
24
25

Pesquisando no Google, me deparei com a página Fatos Curiosos! Você seria capaz de provar tais fatos? e dentre eles, em um total de cinco e bem interessantes, selecionei o Fato 4 que transcrevo a seguir, aceitando o desafio explícito no seu título:

Se você somar 1 ao produto de quatro números inteiros consecutivos, o resultado sempre será um quadrado perfeito.

Em outros termos, o que devemos demonstrar é:

Dado um número x inteiro qualquer o resultado da operação R = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 será sempre um quadrado perfeito, isto é, um número inteiro elevado ao quadrado.

Então, vamos começar, como não poderia deixar de ser, realizando umas “continhas” utilizando-se da propriedade distributiva da multiplicação, para reescrever R:

R = (x² + x)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x³ + 2x² + x² + 2x)(x + 3) + 1    =>

R = (x³ + 3x² + 2x)(x + 3) + 1 = x⁴ + 3x³ + 3x³ + 9x² + 2x² + 6x + 1

Agrupando os termos de R, na expressão acima, obtemos:

R = (x⁴ + 6x³ + 9x²) + 2(x² + 3x) + 1

Agora, repare bem, bem mesmo, na primeira expressão entre parêntesis, lembre-se do velho e conhecido Produtos Notáveis e conclua comigo que:

R = (x² + 3x)² + 2(x² + 3x) + 1  [1]

Para facilitar o entendimento final da demonstração, vamos definir y como:

y = (x² + 3x)   [2]

e substituir em [1] para concluir que:

R = y² + 2y + 1 = (y + 1)² [3]

é um quadrado perfeito, onde em [3], mais uma vez, utilizamos a propriedade dos produtos notáveis: Quadrado da soma de dois números. Tem dúvidas, consulte o artigo indicado no link acima sobre o tema.

Para finalizar, vamos a um exemplo: dado x = 4 vem que R = (4×5×6×7) + 1 = 841. Tudo bem, até aí está fácil. Mas como saber se 841 ou um número bem maior é um quadrado perfeito sem muito esforço – extração da raiz quadrada.

Tranquilo. Utilize a expressão [2] para determinar y = (16 + 12) = 28 e substitua em [3] para concluir que R = 29² = 841.

O Thiago Cavalcanti, do Design Com Bolachas, enviou recentemente um comentário me indagando se seu conhecia o Mind Reader.

Como você pode verificar acessando a página indicada no link acima, o Mind Reader, sugerido pelo Thiago, consiste em selecionar um número de dois dígitos em um tabela, subtrair do número selecionado a soma dos dois dígitos que o compõe, localizar na mesma tabela o símbolo correspondente ao resultado assim obtido, clicar em uma bola de cristal e bingo, surge como um passe de mágica o símbolo “pensado”.

À primeira vista parece algo sobrenatural, demoníaco, mágico! Exageros a parte, na verdade, trata-se de algo bastante simples como você verá a seguir.

Inicialmente, vamos abordar de forma genérica a operação aritmética utilizada no Mind Reader, ou seja, dado um número de dois dígitos – representaremos por [xy] -, x diferente de zero, subtraia desse número o resultado da soma x + y:

MR = [xy] – (x + y)

Já sabemos de tempos idos que todo número de dois dígitos pode ser escrito na forma:

[xy] = 10x + y

Substituindo o valor de [xy] na expressão anterior:

MR = 10x + y – (x + y) = 10x + y – x – y = 9x

obtemos que o resultado da operação aritmética utilizada pelo Mind Reader é sempre um múltiplo de 9.

Logo os valores possíveis para o resultado da operação são 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 ou 81 para x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 respectivamente. Em outras palavras, ao selecionarmos um número entre 10 e 19, em que x = 1, teremos como resultado 9, entre 20 e 29, em que x = 2, teremos como resultado 18, e, assim sucessivamente até x = 9, para os números entre 90 e 99, em que teremos como resultado 81.

Agora, para finalizar, observe que a cada vez que a tabela é exibida na página indicada inicialmente, àqueles valores (9, 18, …) corresponde sempre o mesmo símbolo.

E, portanto, o Mind Reader acerta sempre e o mistério está desvendado por Mister N!

Dado qualquer número com três algarismos, repita este número em sua frente e divida o número assim construído por 13. Em seguida, pegue o resultado dessa divisão e divida por 11, e, novamente, divida o resultado obtido por 7. O resultado final será sempre o número inicialmente escolhido.

Para não haver dúvidas quanto à questão colocada, vamos a um exemplo prático:

Seja 564 o número escolhido. Repetindo o número na frente do número dado obtemos o número 564564.

Dividindo esse número por 13:

564564/13 = 43428

Dividindo o resultado da divisão anterior por 11:

43428/11 = 3948

E, finalmente, dividindo esse resultado por 7, obtemos o número inicialmente escolhido:

3948/7 = 564

Faça outros exemplos e você verá que o resultado será, de fato, sempre o número escolhido inicialmente. Por que? Alguém se candidata a explicar aí nos comentários?

Dois artigos me conduziram mais uma vez a desenvolver um novo layout para o Viche, porém mantendo algumas características do anterior:

1. O artigo Faux Absolute Positioning de Eric Sol, e,
2. O sobre o plugin para WordPress Lead Manager (Gerenciador de Capas) desenvolvido pela equipe do Ministério da Cultura – Minc.

O primeiro aborda uma técnica sobre a construção de layout’s com o uso das CSS e o segundo os procedimentos de instalação e uso do plugin utilizado no site do Ministério da Cultura. Os detalhes podem ser obtidos nos links acima.

Antes de avançar um pouco mais sobre a descrição do tema, gostaria de parabenizar os autores do artigo e do plugin pelos trabalhos de excelente qualidade. Em especial à equipe do Minc em que tive o prazer de trabalhar por bastante tempo, como brevemente descrevo na página Sobre do blog. Como me desliguei do serviço público em 1997 não conheço, acho, nenhum dos membros da equipe atual.

Registro feito vamos em frente.

Como se trata de uma mania específica e quase compulsiva do autor do Viche de experimentar e por não saber se terá efeitos concretos o gerenciamento de capas em um blog sem as características de portal, caso do Minc, disponibilizei no final da primeira coluna da home um link e aqui também para o retorno ao tema anterior.

Para não haver distorção entre um e outro desenvolvi uma função, utilizada na capa Últimos Posts localizado na coluna do meio, para exibir apenas três e não prejudicar o loop original do WP, que está parametrizado para mostrar dez posts na página principal, caso você não goste deste tema ou se porventura venha a ocorrer algum problema uma vez que não tenho um histórico de como será o comportamento.

E se você foi e desejar retornar para o tema Viche Minc? Simples, clique aqui. Eita! que confusão! para, certamente, um número pequeno de leitores que testarão o vai-e-volta!

Finalmente, informo que utilizei os scripts jQuery do site do Minc para o drag-and-drop e o “abre-e-fecha” das capas, porém sem gravar cookies para “decorar” a possível customização feita pelo leitor, o que significa que ao recarregar a página inicial é exibido sempre o layout original.

No mais, se desejar, dê seu palpite.

A razão para que o número 1089 seja considerado “mágico” decorre do fato de ser obtido da seguinte forma:

Dado um número qualquer composto de três algarismos diferentes – abc -, inverta esse número, no sentido de trás para frente – cba – e subtraia o menor do maior. Ao resultado dessa subtração – representada por xyz -, onde se deve considerar sempre um número de três algarismos, mesmo quando a diferença na casa das centenas é zero, some o seu inverso – zyx – e eis que surge “fagueiro” o número 1089.

O objetivo deste post é demonstrar porque isso sempre ocorre. Mas, antes alguns exemplos para que não restem eventuais dúvidas quanto ao enunciado.

Exemplo 1: Seja 367 um número escolhido, que escrito de trás para frente é 763. Subtraindo o menor do maior obtemos:

763 – 367 = 396

E somando o resultado obtido ao seu inverso de trás para frente:

396 + 693 = 1089

Exemplo 2: Agora tome o número 675. Utilizando-se dos mesmos procedimentos vem:

675 – 576 = 099 => 099 + 990 = 1089

Observe que no exemplo acima o zero a esquerda – em 099 – deve ser considerado para que o resultado seja o número “mágico” 1089.

Isto posto, vamos lá.

Seja e com a composição abc o número escolhido. Como a representa a centena, b a dezena e c a unidade, então e pode ser escrito como:

e = 100a + 10b + c.

Pelo enunciado, o “inverso” de e tem a composição “cba” e por analogia:

d = 100c + 10b + a.

Portanto, supondo que e > d, temos a > c (representam as centenas de e e d respectivamente) e que a subtração é dada por:

e – d = 100a + 10b + c – (100c + 10b + a)

Eliminando os parenteses e efetuando a multiplicação por -1, a famosa troca de sinal:

e – d = 100a + 10b + c – 100c – 10b – a

Efetuando as operações com os termos comuns, ou seja, 100a – a = 99a, 100c – c = 99c e 10b – 10b = 0:

e – d = 99a – 99c

Colocando 99 em evidência – termo comum às duas parcelas:

e – d = 99(a – c)

Até aqui fica demonstrado que o resultado da diferença entre e e d – que será representada pela composição xyz – é sempre um múltiplo de 99 e portanto, necessariamente, um múltiplo de 9.Como nas duas parcelas e e d, b não muda de posição, permanecendo na casa das dezenas e a > c, então o “y” da composição do resultado (”xyz”) será sempre igual a 9 (lembra do tira 1 dos tempos da aritmética!).

E como em todo número divisível por 9 a soma de seus algarimos é também um número divisível por 9, concluímos que x + z = 9.

Logo, podemos escrever o resultado R da soma da diferença pelo seu “inverso” como:

R = 100x + 10y + z + 100z + 10y + x

que pode ser reescrito como:

R = 100(x + z) + 20y + (x + z) = 100(9) + 20(9) + 9 = 900 + 180 + 9 = 1089

como queríamos demonstrar.

Observações:

• Na expressão 99(a – c), obtida na demonstração como resultado da subtração inicial, teremos sempre o valor 099 quando a diferença entre o algarismo da centena e da unidade do número escolhido for igual a 1, caso do exemplo 2 acima;
• Que os resultados possíveis para a subtração inicial são 099, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792 e 891;
• Que, com exceção do 099, todos os inversos utilizados na soma – segundo passo para obter o 1089 – estão, também, entre os números acima;
• E, finalmente, que o resultado de toda a brincadeira, para qualquer que seja o número escolhido, é sempre igual a 11 x 99 = 1089. Veja que se a – c = 2, por exemplo, temos como resultado da subtração 198 = 2 x 99 cujo inverso é 891 = 9 x 99, o que conduz a 1089 = (2×99) + (9×99) = 11 x 99.

Alguns autores de blog, e com certa frequência o Cardoso, do Contraditorium, têm escrito sobre o fato da enorme maioria dos visitantes não passar da leitura do primeiro parágrafo de um artigo e às vezes, nem isso, para a partir daí escreverem comentários sem sentido ou fora de contexto, numa clara demonstração de analfabetismo funcional, recentemente confirmada por pesquisa do IBOPE.

Com o objetivo de sondar que nem a leitura é feita por essa enorme maioria, publiquei dois posts com questionários contendo exercícios propostos/resolvidos de Matemática que podem ser respondidos online e com o devido controle do número de respostas consignadas:

• Q1 – Questionário com exercícios sobre Potenciação e Radiciação onde se tem um texto, não muito extenso, que no final disponibiliza um link para que possa ser exibido;
• Q2 – Questionário com exercícios sobre Conjuntos que é exibido em toda sua plenitude quando o post é acessado.

A quem interessar, os links de acesso aos questionários Q1 – este com as modificações indicadas no último parágrafo – e Q2 encontram-se no final do post.

Como se vê, o contexto em que o exercício de sondagem ocorre é bem específico, e, é de se supor, com um grau significativo de certeza, que quem chegou aos posts estava interessado no assunto abordado.

Para minha surpresa (oh!), apesar do post que contem Q1 ter sido publicado seis dias antes e ter uma visitação superior a duas vezes ao de Q2, o número de leitores que responderam Q1, ou para sermos mais precisos, que clicaram no botão enviar dos questionários, é nitidamente inferior, em termos absolutos e relativos, aos que fizeram o mesmo com Q2.

Veja concretamente os dados no momento da publicação deste post:

• Q1 – 1877 visitas e 15 respostas que corresponde a 0,8% de seus visitantes;
• Q2 – 887 visitas e 150 respostas que corresponde a 16,91% de seus visitantes e a 10 vezes, em valores absolutos, o número de respostas de Q1.

A partir dos dados apresentados – onde se deve considerar que estão embutidos as visitas dos famosos robots – não se pode inferir com certeza absoluta que a causa da baixa ocorrência de respostas de Q1 se deva aos pressupostos inicialmente colocados.

Mas, convenhamos, caracteriza um sintoma, até certo ponto com um grau de malignidade elevado, ainda mais se é agregado o fato de que as estatísticas do blogViche não apontam cliques significativos no link disponibilizado em Q1.

Ou seja, uma conclusão viável é que a baixa ocorrência pode significar que os visitantes ao não se depararem com os exercícios de imediato, não lêem o texto e portanto não abrem sequer o questionário.

Ou, por outro lado, que os públicos dos questionários apresentem características diferenciadas (idade, nível de escolaridade, por exemplo) que influam diretamente na distorção apontada, ou, até mesmo, que as questões formuladas são menos interessantes para o publico de Q1.

Mas independentemente dessas colocações, o que fazer para, pelo menos, tentar aumentar o grau de confiabilidade da sondagem na direção inicialmente apontada? Penso que publicando novamente Q1 da mesma forma que feito para Q2 e acompanhar o comportamento do “novo” questionário e voltar a comparar.

É óbvio que o exercício pode, simplesmente, resultar em nada conclusivo, mas que o fato me pareceu estranhamente inconsistente, vá lá, pareceu, e penso merecer a tentativa da investigação.

Não espalhem, mas o “novo questionário” já se encontra no ar. Apenas coloquei o questionário Q1 “aberto” no início do post e mantive o texto original logo abaixo.

Tenho visto em alguns sites e blogs colocações que causam um certo “espanto” e que podem levar a supor que há inconsistências na Matemática.

Para jogar mais lenha na fogueira apresento, a seguir, duas demonstrações aparentemente corretas, mas que contêm uma passagem que contrariam princípios simples e, porque não dizer, triviais da Matemática, para que você se habilite a explicar o que tem de errado nelas.

Na primeira vou “demonstrar” que a + b = b, partindo da suposição de que a = b.

Inicialmente, multiplicamos os membros da igualdade a = b por a para obtermos:

a² = ab

Em seguida, subtraímos b² nos dois lados da igualdade anterior:

a² – b² = ab – b²

Do produto notável a² – b² = (a + b)(a – b) e colocando-se b em evidência no segundo membro da igualdade acima, vem:

(a + b)(a – b) = b(a – b)

E, finalmente, simplificando-se a – b nos dois membros da igualdade concluímos que:

a + b = b

Observe, agora, que se a = b = 1 então 2 = 1, ou se a = b = 2 que 4 = 2 e por aí vai.

E que tal “mostrar” que 1/9 > 1/3.

Obviamente é fato que 2 > 1. Multiplicando a desigualdade pelo logaritmo decimal de 1/3 vem:

2log(1/3) > log(1/3)

Pela propriedade dos logaritmos:

log(1/3)² > log(1/3)

Daqui, eliminando-se o logaritmo em ambos os membros:

(1/3)² > 1/3

E, finalmente:

1/9 > 1/3

Realmente tem algo de errado. Quem se habilita?

O WP 2.1 possui uma barra com funcionalidades adicionais que melhoram, e muito, a digitação de posts.

Para acioná-la no IE pressione simultaneamente as teclas Alt + v, no Firefox Alt + Shift + v, e, de acordo com comentários, Ctrl + v no Mac – não tenho como testar :-).

No momento, tenho o WP 2.1 em funcionamento apenas no meu computador para avaliação e testes antes da migração.

Fonte: Suporte WordPress