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Viche Responde #2 - Questão de Progressão Aritmética

novembro 11th, 2007

A categoria Viche Responde estava submersa. Na tentativa de trazê-la a tona farei um esforço para publicar a solução de uma ou mais questões por semana ou, na pior circunstância, uma ou mais por quinzena, selecionadas entre as propostas pelos leitores nos comentários dos artigos e, claro, que estejam relacionadas ao assunto lá abordado.

Retomo com uma questão de Progressão Aritmética relativamente simples, pelo menos para mim ;-), agregando à solução em si o detalhamento de um método de como penso se deva proceder para interpretar e resolver questões de matemática.

Proponente

Marcelo Augusto

Questão

Quantos números inteiros compreendidos entre 1 e 500 são divisíveis por 3 e por 7 ao mesmo tempo?

Condições - O que se tem:

O primeiro passo é o estabelecimento das condições iniciais da questão, as quais podem ser extraídas facilmente do enunciado:

1. Os números inteiros são divisíveis por 3 e 7 ao mesmo tempo;
2. E estão compreendidos entre 1 e 500.

Parece óbvio esse passo, e é na maioria das vezes, mas se trata de um procedimento essencial da solução.

Tese - O que se quer:

A quantidade de números inteiros que satisfazem as condições iniciais.

Solução:

a) Analisando a Condição 1:

Para que um número inteiro seja divisível por outros dois números inteiros ao mesmo tempo é suficiente que ele seja divisível pelo mínimo múltiplo comum entre eles. Como os números 3 e 7 são primos entre si, uma vez que o m.d.c.(3,7) = 1, os números que satisfazem essa condição devem ser múltiplos de 3 x 7 = 21 = m.m.c.(3,7).

Desse fato concluimos que os números formam a sequência:

(21, 42, 63, …, a_n)

e que essa sequência é uma PA de razão r = 21, pois a diferença entre um termo, a partir do segundo, e seu antecedente é sempre 21 e onde, por enquanto, desconhecemos quanto valem a_n e n, os quais serão determinados a partir da condição 2. Note que n é a quantidade procurada.

b) Analisando a condição 2:

Como os números devem estar compreendidos entre 1 e 500 temos que:

a₁ = 21 > 1 e a_n < 500

Para concluir a solução do problema basta, então, determinar o valor de n.

E isso é feito a partir da fórmula do termo geral de uma PA:

a_n = a₁ + (n - 1)r = 21 + (n - 1)21 = 21 + 21n - 21 = 21n < 500

Da desigualdade acima obtemos que:

n < 500/21 => n < 23,809…

E, finalmente, que o maior termo (a_n = 21 x 23 = 483) da seqüência que satisfaz a condição 2 é o obtido quando n = 23, que é a quantidade de números procurada.

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Categorias: Matemática, VICHE Responde

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