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Curiosidade Matemática #9 - 1089: O Número (dito) Mágico

agosto 11th, 2007

A razão para que o número 1089 seja considerado “mágico” decorre do fato de ser obtido da seguinte forma:

Dado um número qualquer composto de três algarismos diferentes - abc -, inverta esse número, no sentido de trás para frente - cba - e subtraia o menor do maior. Ao resultado dessa subtração - representada por xyz -, onde se deve considerar sempre um número de três algarismos, mesmo quando a diferença na casa das centenas é zero, some o seu inverso - zyx - e eis que surge “fagueiro” o número 1089.

O objetivo deste post é demonstrar porque isso sempre ocorre. Mas, antes alguns exemplos para que não restem eventuais dúvidas quanto ao enunciado.

Exemplo 1: Seja 367 um número escolhido, que escrito de trás para frente é 763. Subtraindo o menor do maior obtemos:

763 - 367 = 396

E somando o resultado obtido ao seu inverso de trás para frente:

396 + 693 = 1089

Exemplo 2: Agora tome o número 675. Utilizando-se dos mesmos procedimentos vem:

675 - 576 = 099 => 099 + 990 = 1089

Observe que no exemplo acima o zero a esquerda - em 099 - deve ser considerado para que o resultado seja o número “mágico” 1089.

Isto posto, vamos lá.

Seja e com a composição abc o número escolhido. Como a representa a centena, b a dezena e c a unidade, então e pode ser escrito como:

e = 100a + 10b + c.

Pelo enunciado, o “inverso” de e tem a composição “cba” e por analogia:

d = 100c + 10b + a.

Portanto, supondo que e > d, temos a > c (representam as centenas de e e d respectivamente) e que a subtração é dada por:

e - d = 100a + 10b + c - (100c + 10b + a)

Eliminando os parenteses e efetuando a multiplicação por -1, a famosa troca de sinal:

e - d = 100a + 10b + c - 100c - 10b - a

Efetuando as operações com os termos comuns, ou seja, 100a - a = 99a, 100c - c = 99c e 10b - 10b = 0:

e - d = 99a - 99c

Colocando 99 em evidência - termo comum às duas parcelas:

e - d = 99(a - c)

Até aqui fica demonstrado que o resultado da diferença entre e e d - que será representada pela composição xyz - é sempre um múltiplo de 99 e portanto, necessariamente, um múltiplo de 9.Como nas duas parcelas e e d, b não muda de posição, permanecendo na casa das dezenas e a > c, então o “y” da composição do resultado (”xyz”) será sempre igual a 9 (lembra do tira 1 dos tempos da aritmética!).

E como em todo número divisível por 9 a soma de seus algarimos é também um número divisível por 9, concluímos que x + z = 9.

Logo, podemos escrever o resultado R da soma da diferença pelo seu “inverso” como:

R = 100x + 10y + z + 100z + 10y + x

que pode ser reescrito como:

R = 100(x + z) + 20y + (x + z) = 100(9) + 20(9) + 9 = 900 + 180 + 9 = 1089

como queríamos demonstrar.

Observações:

Na expressão 99(a - c), obtida na demonstração como resultado da subtração inicial, teremos sempre o valor 099 quando a diferença entre o algarismo da centena e da unidade do número escolhido for igual a 1, caso do exemplo 2 acima;
Que os resultados possíveis para a subtração inicial são 099, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792 e 891;
Que, com exceção do 099, todos os inversos utilizados na soma - segundo passo para obter o 1089 - estão, também, entre os números acima;
E, finalmente, que o resultado de toda a brincadeira, para qualquer que seja o número escolhido, é sempre igual a 11 x 99 = 1089. Veja que se a - c = 2, por exemplo, temos como resultado da subtração 198 = 2 x 99 cujo inverso é 891 = 9 x 99, o que conduz a 1089 = (2×99) + (9×99) = 11 x 99.

Categorias: Curiosidades, Matemática, Técnico

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10 Comentários Adicione o seu

1. Filipe | agosto 14th, 2007 at 16:02:42

“Portanto, supondo que e > d, temos a > c (representam as centenas de e e d respectivamente) e que a subtração é dada por:

e - d = 100a + 10b + c - (100c + 10y + x)

Eliminando os parenteses e efetuando a multiplicação por -1, a famosa troca de sinal:

e - d = 100a + 10b + c - 100c - 10b - a”

Dê uma olhada nos trechos em negrito. Aparentemente você trocou acidentalmente as variáveis ;)
2. Newton de Góes Horta | agosto 14th, 2007 at 19:25:52

@Felipe,

Você tem toda a razão. Correção efetuada. Valeu!
3. Jessica Fiaschi Leal | agosto 25th, 2007 at 00:11:23

oi, eu tenho uma teoria que me foi apresentada onde resulta em “2+2=5″ e gostaria de saber se aconteceu algum erro dureante o procedimento matemático deste. A questão é a seguinte: “Calcule: a+b=csendo:
a=5a -4a; b=5b -4b; c=5c -4c.
a resolução demonstrada foi a seguinte:
a + b = c => (5a -4a) + (5b -4b) = (5c -4c)
=> 5(abc) = -4(abc) , logo, dividindo vamos “cancelar” os algarismos e obter 5=4 , então: 5=2+2.
se puderem me mandar um e-mail explicando isso, ou mostrando outros desafios e curiosidades, serei infinitamente grata.
desde já, agradeço pela atenção!
4. Evandro | setembro 22nd, 2007 at 19:48:09

Olá!!

Eu estava dando uma olhada aqui no site e não pude deixar de colocar aqui que realmente, como já disseram, este site está muito bom! Estou cursando matemática bacharelado e tem muitos conceitos que para mim, ainda iniciante, foram muito úteis!

Aproveitando a oportunidade, Jéssica, o erro na sequência lógica acima está no ”cancelar” os termos (abc) de ambos os lados da equação, uma vez que não definimos no início do exercício que a, b ou c não são nulos. Na verdade, o ”cancelamento” que utilizamos para agilizar nossos cálculos nada mais é do que multiplicar ambos os lados da equação pelo inverso do número que queremos excluir da equação. Assim, na demonstração acima você multiplicou ambos os lados por (1/(abc)), mas se (abc) é um número nulo, isso vai dar uma indeterminação, na qual recorremos pelo conceito dos limites, que já é outro assunto!

Espero ter ajudado. Até mais!
Evandro
5. camila | setembro 27th, 2007 at 19:39:44

ahhhh eu adoreiiii
eu ate jah mostrei par a minha professora de ,matematica
ela gostou muitooo
jah fiz essa brincadeira com os meus amigos
eles gostaram muitooo
Parabens!!
6. ANICETO | outubro 12th, 2007 at 06:23:14

gostei muito de ver comentarios culturais como estes. sucessos pra todos vcs
7. Miranda | maio 4th, 2008 at 23:27:02

Portanto tentem com os numeros 333,666,999 xD
8. Aurélio Magno | agosto 14th, 2008 at 02:43:58

eu fiz uma outra forma de descobrir porque o algarismo do meio da diferença dos numeros invertidos é de fato o 9.

Eis ela:

Partindo da parte que chegamos em 99(a-c), podemos conlcuir que esse número é múltiplo de 9 e de 11. Como vamos chegar num número de 3 algarismos, seja na diferença ou no “invertido”, e ao chamarmos ele de XYZ, temos das regras de divisibilidade que:

9k => x + y + z = 9k
11k => x + z = y
Logo,
2y = 9k

Sendo X, Y e Z ALGARISMOS, o único algarismo que multiplicado por 9 dará um múliplo de 9, só pode ser o próprio 9… O mais baixo da base 10 é 0, e o mais alto é o 9…
E se y for 0, K também tem que ser 0, o que implicaria em numeros cheios de 0 ou algarismos negativos, o que não rola… hehe.

y = 9 e K = 2

Pode-se conferir que a soma dos algarismos do 1º resultado sempre é 18. =P

daí pra frente, a conta é a mesma, só que achei muito forçada essa forma de pensar no algarismo do meio… hehe.
9. Aurélio Magno | agosto 15th, 2008 at 22:28:23

*Correção:
o único algarismo que multiplicado por 2 dará um multiplo de 9, só pode ser o próprio 9.
10. Rafael Souza | outubro 27th, 2008 at 13:36:25

Gostaria de saber por que um numero+ o inverso de seus algarismos da sempre um multiplo de 9 ?
122-221= -99/9 11:D

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