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Intervalos na Reta Real

abril 10th, 2007

Para complementar o artigo escrito sobre Conjuntos Numéricos iremos abordar agora o conceito de intervalo na reta real R. Ou seja, dos subconjuntos de R que satisfazem à seguinte propriedade:

se x e y pertencem a I C R, x ≤ y, então para todo z tal que x ≤ z ≤ y, então z pertence a I

Sem entrar em detalhes, e apenas como informação adicional, a propriedade estabelece que os intervalos são subconjuntos conexos de R, como também o é o próprio R, ou subconjuntos contínuos de R.

Em forma de conjunto a propriedade acima pode ser escrita como:

I = {z ε R | x ≤ z ≤ y}

Os intervalos podem ser classificados por suas características topológicas - abertos, fechados e semi abertos (fechados ou abertos à esquerda ou à direita) - e por suas características métricas - comprimento nulo, finito não nulo ou infinito.

Notação em símbolos de um intervalo

Habitualmente se utilizam os colchetes - “[” e “]” - para indicar que um dos extremos do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses - “(” e “)” - ou, também, os colchetes invertidos - “]” e “[” para indicar o contrário.

Assim, por exemplo, dados a e b números reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa o conjunto dos x ε R, tal que a < x ≤ b. Note que a não faz parte do intervalo.

Representação de um intervalo na reta real

Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha cheia” para indicar que o ponto extremo pertence.

Tipos de Intervalos

Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como:

a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b - a:

[a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b}

b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito c = b - a:

[a,b[ = [a,b) = {x ε R | a ≤ x < b}

c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito c = b - a:

(a,b] = ]a,b] = {x ε R | a < x ≤ b}

d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b - a:

]a,b[ = (a,b) = {x ε R | a < x < b}

e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:

]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R | x < b}

f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:

]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R | x ≤ b}

g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:

[a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | a ≤ x}

h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito:

]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a}

i) Intervalo aberto de comprimento infinito:

]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R

j) Intervalo fechado de comprimento nulo:

Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.

Concluo a classificação dos intervalos com a seguinte pergunta para vocês: E o intervalo vazio como seria definido?

União e Intersecção de Intervalos

Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.

E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.

Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.

Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:

A ∩ B = {x ε R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x ε R | -1 ≤ x}

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Categorias: Matemática, Técnico

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