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Para complementar o artigo escrito sobre Conjuntos Numéricos iremos abordar agora o conceito de intervalo na reta real R. Ou seja, dos subconjuntos de R que satisfazem à seguinte propriedade:
se x e y pertencem a I C R, x ≤ y, então para todo z tal que x ≤ z ≤ y, então z pertence a I
Sem entrar em detalhes, e apenas como informação adicional, a propriedade estabelece que os intervalos são subconjuntos conexos de R, como também o é o próprio R, ou subconjuntos contínuos de R.
Em forma de conjunto a propriedade acima pode ser escrita como:
I = {z ε R | x ≤ z ≤ y}
Os intervalos podem ser classificados por suas características topológicas – abertos, fechados e semi abertos (fechados ou abertos à esquerda ou à direita) – e por suas características métricas – comprimento nulo, finito não nulo ou infinito.
Habitualmente se utilizam os colchetes – “[" e "]” – para indicar que um dos extremos do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses – “(” e “)” – ou, também, os colchetes invertidos – “]” e “[" para indicar o contrário.
Assim, por exemplo, dados a e b números reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa o conjunto dos x ε R, tal que a < x ≤ b. Note que a não faz parte do intervalo.
Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha cheia” para indicar que o ponto extremo pertence.
Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como:
a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b – a:
[a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b}
b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito c = b – a:
[a,b[ = [a,b) = {x ε R | a ≤ x < b}
c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito c = b - a:
(a,b] = ]a,b] = {x ε R | a < x ≤ b}
d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b – a:
]a,b[ = (a,b) = {x ε R | a < x < b}
e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:
]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R | x < b}
f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:
]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R | x ≤ b}
g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:
[a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | a ≤ x}
h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito:
]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a}
i) Intervalo aberto de comprimento infinito:
]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R
j) Intervalo fechado de comprimento nulo:
Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.
Concluo a classificação dos intervalos com a seguinte pergunta para vocês: E o intervalo vazio como seria definido?
Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.
E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.
Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.
Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:
A ∩ B = {x ε R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x ε R | -1 ≤ x}
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nao entendi
matematica me condena D:
muito interessante. Contribuiu para tirar varias duvidas. Obg !
valeu.gostei
muito da dica sobre união e intersecção de intervalos ajudou bastante.
P0h tava um kaduh facil de intender, se vces explicacem de um m0do mais simples seria melhor
seria mais interessante e ajudaria muito mais se tivesse as esplicaçoes nas retas….
oi muito interessante
oi eu n entendi uma coisa quando que eu uso intervalo fechado e aberto e por que vcs n poderiam me explicar?eu to no 1º grau e to com dificuldades para aprender isso vai cai na prova
eu prefiro que isso seja exolicado em uma linguagem mais formal , para que assim possamos assimilar melhor o conteúdo.
Gostei muito, muito bem explicado, mas acho que deveria ter uma liguagem mais simples…
esplica beem ! mais poderi ater uma linguagem mais facil pra intendermos melhos
rapido, pratico e facil de absorver,aprendi muito com essa explicação
gostei muito de aprender intervalos,quando vc presta muito atençao vc sabe fazer é muito legal
Isso Ai em Cima E MuitO Bom Aprende Muita Coisa!
Odeio MTM :D
ACHEI MUITO INTERESSANTE E CONSEGUI OBTER MUITO MAIS CONHECIMENTO SOBRE ESSE TEMA TAO DISCUTIVEL NA MATEMATICA.