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Curiosidade Matemática #8 - Tem Algo de Errado

abril 10th, 2007

Tenho visto em alguns sites e blogs colocações que causam um certo “espanto” e que podem levar a supor que há inconsistências na Matemática.

Para jogar mais lenha na fogueira apresento, a seguir, duas demonstrações aparentemente corretas, mas que contêm uma passagem que contrariam princípios simples e, porque não dizer, triviais da Matemática, para que você se habilite a explicar o que tem de errado nelas.

Na primeira vou “demonstrar” que a + b = b, partindo da suposição de que a = b.

Inicialmente, multiplicamos os membros da igualdade a = b por a para obtermos:

a2 = ab

Em seguida, subtraímos b2 nos dois lados da igualdade anterior:

a2 - b2 = ab - b2

Do produto notável a2 - b2 = (a + b)(a - b) e colocando-se b em evidência no segundo membro da igualdade acima, vem:

(a + b)(a - b) = b(a - b)

E, finalmente, simplificando-se a - b nos dois membros da igualdade concluímos que:

a + b = b

Observe, agora, que se a = b = 1 então 2 = 1, ou se a = b = 2 que 4 = 2 e por aí vai.

E que tal “mostrar” que 1/9 > 1/3.

Obviamente é fato que 2 > 1. Multiplicando a desigualdade pelo logaritmo decimal de 1/3 vem:

2log(1/3) > log(1/3)

Pela propriedade dos logaritmos:

log(1/3)2 > log(1/3)

Daqui, eliminando-se o logaritmo em ambos os membros:

(1/3)2 > 1/3

E, finalmente:

1/9 > 1/3

Realmente tem algo de errado. Quem se habilita?

Categorias: Curiosidades, Matemática, Técnico

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6 Comentários Adicione o seu

  • 1. Douglas Fernando Rieger  |  abril 10th, 2007 at 18:20:15

    Na primeira demonstração, começa-se a desenvolver a partir da suposição que a=b. O desenvolvimento toma um rumo incorreto quando simplifica-se por (a-b) os dois lados da igualdade. Se a=b, a-b=0. Obviamente que multiplicando os dois lados da equação por 0 que a igualdade é verdadeira. A partir da retirada do zero, não está ocorrendo uma simplificação correta e a equação torna-se absurda. Ex: 8×0=5×0 (simplificando por 0, estaremos dividindo por 0, o que está errado).

    Na segunda demonstração ainda não achei o erro. Parece-me que o erro está na aplicação da propriedade dos logaritmos, que não seria aplicável nessa inequação.

  • 2. Newton de Góes Horta  |  abril 13th, 2007 at 20:37:29

    Teste MimeTeX em comentários - raízes da equação do segundo grau ax^2+bx+c=0:

    \Large x=\frac{b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

    Coloque o mouse sobre as imagens para ver a expressão LaTeX correspondente.

  • 3. Ricardo Murari  |  abril 14th, 2007 at 22:41:18

    É evidente que à primeira vista todo o raciocinio está correto, mas se olharmos com atenção, encontramos a falha: Quando se aplica os logaritmos a ambos os membros da desigualdade, nada é afirmado relativamente à base do mesmo. Pois se for considerado log de base entre 0 e 1, o raciocinio é inválido.
    De fato loga((1/2)2)

  • 4. Leandro A. Lichtenfelz  |  abril 19th, 2007 at 00:50:31

    Os erros são tão triviais quanto as “demonstrações”.

    Na primeira, como observou o Douglas, o erro está em se dividir por zero.
    Na segunda, o erro vem simplesmente do fato de que o logaritmo decimal de 1/3 é um número negativo, e como sabemos desde o jardim da infância, ao multiplicarmos uma inequação por um número negativo, invertemos seu sinal.

  • 5. Dennis Lindgren  |  junho 6th, 2007 at 16:44:42

    concordo c/ nossos colegas Douglas e Leandro.

    “ilusionismo” apenas para os que não analisam a questão, que não deixa de ser admirável à primeira vista!

  • 6. Tio_Wlad  |  julho 2nd, 2007 at 16:24:06

    Parece aquela coisa de três num bar 30 reais de conta e fica sempre faltando 1 real…..

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