Arquivos: março, 2007

[Atualização: 06/03/2007]:

As soluções dos exercícios foram disponibilizadas no questionário. Para vê-las proceda como indicado no texto abaixo.

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É com grande prazer e satisfação que inauguro mais uma categoria de artigos, se é que se pode dizer assim, a Questionarious.

Consistirá de exercícios propostos sobre as matérias tratadas no Viche em forma de um questionário, com perguntas e respostas de múltipla escolha onde você terá condições de testar seus conhecimentos ao vivo e a cores. Ou seja, você resolve as questões, responde diretamente no questionário e obtém o resultado de sua avaliação clicando no botão “enviar” exibido em seu final.

O primeiro questionário é composto de cinco exercícios sobre potenciação e cinco sobre radiciação.

Ao final de cada pergunta você observará que é mostrado um ícone em forma de uma lâmpada que se destina a fornecer a sua solução. É claro que, por enquanto, você não terá essa facilidade disponível. Será preciso que você tente, primeiro, resolver.

A idéia é que após quinze dias, a contar da data de publicação do questionário, as soluções sejam divulgadas. Achou pouco ou muito, diz aí nos comentários!

No entanto, como “canja” e para você ter idéia de como as soluções serão apresentadas, estou disponibilizando, de imediato, os resultados da primeira e da sétima questão. Seja forte e resista à tentação de “espiar” sem antes tentar resolvê-las. A recomendação é para seu próprio bem :-).

Somente a título de conhecimento, o Questionarious é um aplicativo desenvolvido por mim em PHP, MySQL, JavaScript e AJAX com um pouco de CSS. Para a turma que “mexe” na área, informo que logo, logo, estarei liberando a versão “Zen” em forma de demonstração.

Chega de conversa e vamos ao que interessa: Clique aqui para exibir o questionário e bom teste.

Comunico, em atenção aos leitores que colocam sua opinião por aqui, que os comentários estão sendo moderados. Para quem não tem conhecimento, isto significa que um comentário só é publicado após a liberação efetuada por mim, o que pode demandar algum tempo, principalmente, durante os dias úteis.

No entanto, para quem já postou e tem comentários aprovados a liberação ocorre de forma automática.

Infelizmente tive que tomar essa posição motivado por comentários colocados no blog por alguns “idiotas-desocupados” que descarregam suas frustações por aqui com palavras de baixo calão. E, como já dei a entender, não monitoro o blog 24 horas por dia e, consequentemente, os “escarros” dessas pessoas permanecem publicados na primeira página por um tempo considerável, o que não é nada agradável, você há de convir.

É lamentável a postura dessas pessoas – tem as “pencas” e ainda mais facilitado pelo anonimato – que ao meu ver caracteriza uma solene falta de argumentação. Partir para a ignorância física, escrita, falada, ou seja lá de que tipo for e contra quem e o que, é característica dessa falta.

Posições a favor ou contra o que está escrito no blog, ou de outro tipo, são bem-vindas desde que escrita como manda o manual da boa educação e convivência.

É isto, e espero que os leitores que não fazem uso desse artifício “indecoroso” – acredito ser a maioria – entendam a minha decisão.

Em agradecimento aos leitores que contribuíram com o seu voto na pesquisa sobre faixa etária, encerrada hoje, apresento, a título de exercício, a distribuição de freqüências das respostas consignadas, as quais considero como corretas para efeito do que será tratado abaixo, e uma breve análise dos resultados obtidos.

Parâmetros e definições:

• As classes de faixa etária foram definidas procurando estabelecer uma aproximação com as idades do ciclo de formação vigente – básico, médio, fundamental, graduação, pós-graduação -, o que, claro, não necessariamente reflete esse fato. Trata-se, apenas, de um método de escolha;
• No entanto, o padrão normalmente adotado e recomendado para os limites inferiores e superiores de cada classe dependem do tamanho (amplitude) de classe escolhido e devem ser, na medida do possível, igual para todas as classes, de modo a facilitar a interpretação da distribuição de freqüências da variável em estudo;
• Na tabela, os colchetes indicam que o limite inferior ou superior da faixa está incluído no intervalo e o parênteses o contrário. A notação normalmente utilizada é uma barra vertical (|) na frente do número que está incluído no intervalo (por exemplo: 10 – 13|). Adotei esta por achar mais próxima da notação de um intervalo – coisa de Matemático, mas que não interfere no entendimento;
• A variável faixa etária é classificada como contínua uma vez que o limite superior de uma faixa é igual ao inferior da seguinte;
• A representação gráfica da distribuição de freqüências de uma variável contínua é feita, mais comumente, mas não necessariamente, através de um gráfico chamado histograma, mostrado na figura após a tabela;
• Como os intervalos de classe são diferentes, para se construir o histograma, devemos calcular as densidades de freqüência relativa, definida como o quociente da freqüência relativa pelo valor da diferença entre o limite superior e o inferior da faixa, ou a amplitude do intervalo da classe, que determinam as alturas do gráfico – ordenadas. Por exemplo, a densidade da primeira faixa é igual a 9,99/10 = 0,99;
• A coluna freqüência absoluta representa os votos dos leitores por faixa etária;
• A freqüência relativa de cada faixa é obtida pelo quociente entre o valor da freqüência absoluta correspondente e o total de votos, e, após, multiplicado por 100 para obter a porcentagem.

Histograma da Distribuição

Analisando o histograma correspondente aos resultados dessa pesquisa podemos perceber que a idade dos leitores do Viche se concentra entre 10 e 18 anos, com a predominância da faixa etária entre 13 e 15 anos, onde ocorre um “pico”.

O pico ou valor mais freqüente da variável é chamado de moda. Ou, no caso da tabela de freqüências, a classe de maior freqüência, chamada de classe modal.

Os que estão, digamos assim, “em idade mais avançada”, não comparecem muito por aqui para dar o ar de sua graça :-).

É bom enfatizar que a análise dos dados colhidos reflete apenas uma tendência e não o perfil característico de idade do leitor “vicheneano”. Além do mais, há de se considerar ainda, como dito no início do artigo, que as respostas fornecidas não são comprovadamente tidas como verdadeiras.

Por fim, uma dica para quem quer conhecer mais sobre o assunto com uma especialista, suponho, na área, o que não é o meu caso: Distribuição de Freqüências.

René Descartes (31 de Março de 1596, La Haye en Touraine, França — 11 de Fevereiro de 1650, Estocolmo, Suécia), também conhecido como Cartesius, foi um filósofo, um físico e matemático francês. Notabilizou-se sobretudo pelo seu trabalho revolucionário da Filosofia, tendo também sido famoso por ser o inventor do sistema de coordenadas cartesiano, 1637, que influenciou o desenvolvimento do Cálculo moderno. Note que com essa invenção Descartes mostrou como traduzir problemas de geometria para a álgebra.

Visite a Wikipédia, de onde o trecho acima foi extraído, para saber mais sobre René Descartes.

Em linhas gerais, um sistema de coordenadas cartesiano consiste de um esquema que permite especificar pontos em um determinado espaço com n dimensões. Assim, por exemplo, a reta corresponde à dimensão 1 (n = 1), o plano à dimensão 2 e o espaço à dimensão 3.

Um ponto qualquer em uma reta orientada ou eixo orientado x, com origem O, o centro das coordenadas e que corresponde ao valor 0 (zero), é representado por um número real. Se positivo estará localizado à direita e se negativo à esquerda de O. Para o assunto a ser tratado é necessário começar pela definição a seguir.

Plano Cartesiano

O plano cartesiano é definido por dois eixos orientados x e y – as dimensões -, perpendiculares entre si, que se cruzam no ponto O, origem de ambos os eixos, conforme figura a seguir.

Observações:

• O eixo x é denominado de eixo das abcissas ou eixo Ox;
• O eixo y é denominado de eixo das ordenadas ou eixo Oy;
• Os dois eixos dividem o plano em quatro quadrantes (I, II, III e IV na figura);
• Cada ponto P do plano cartesiano é identificado por dois números reais x e y e é representado na forma de um par ordenado (x,y), também chamado de coordenadas do ponto P, onde x é a abcissa e y a ordenada;
• Um ponto P é obtido por meio do encontro das perpendiculares aos eixos Ox e Oy traçadas a partir de sua abcissa e de sua ordenada. Veja na figura a representação do ponto P = (2,3);
• A origem O é representada pelo par ordenado (0,0);
• Os pontos do quadrante I são representados pelos pares ordenados (x,y) em que x e y são positivos;
• E os do quadrante II pelos pares ordenados (x,y) em que x < 0 e y > 0;
• Os do quadrante III pelos pares ordenados (x,y) em que x e y são negativos;
• Os pontos do quadrante IV são representados pelos pares ordenados (x,y) em que x > 0 e y < 0;
• Um par ordenado (a,b) é igual a outro par ordenado (c,d) se, e somente se, a = c e b = d;
• Em um par ordenado (a,b), se a é diferente de b, então (a,b) é diferente do par ordenado (b,a). Determine, por exemplo, no plano cartesiano os pontos P = (1,2) e Q = (2,1) para comprovar a afirmação;
• De forma resumida, podemos afirmar que, no plano cartesiano, cada ponto é representado por um único par ordenado (a,b), a e b números reais. A recíproca também é verdadeira, ou seja, cada par ordenado (a,b) representa um único ponto no plano cartesiano;
• E, por fim, o plano cartesiano é obtido associando-se a cada um dos eixos o conjunto dos números reais.

Produto Cartesiano

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Definimos como produto cartesiano de A por B o conjunto A x B cujos elementos são todos os pares ordenados (a,b) em que a pertence a A e b pertence a B:

A x B = {(a,b) | a Ɛ A e b Ɛ B}

Observações:

• O símbolo A x B lê-se “A cartesiano B” ou “produto cartesiano de A por B”;
• Se o conjunto A é diferente do conjunto B, A e B diferentes do conjunto vazio, então A x B é diferente de B x A, veja exemplo abaixo;
• A x ø = ø, ø x A = ø e ø x ø = ø;
• Se A ou B é infinito e nenhum deles for vazio, então A x B é infinito;
• A x A pode ser também representado por A², que se lê “A dois”;
• Se A e B são finitos e A tem m elementos e B tem n elementos, então A x B tem m.n elementos: n(A x B) = n(A).n(B) = m.n.

Exemplo extraído do livro Fundamentos de Matemática Elementar, Vol 01, Conjuntos e Funções – ver referências no final do post:

Se A = {1,2,3} e B = {1,2} então:

A x B = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}

e

B x A = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)}

cujas representações no plano cartesiano são as seguintes:

Relação Binária

Dados dois conjunto A e B não vazios, chama-se relação R, ou mais simplesmente relação binária, de A em B a qualquer subconjunto de A x B. Uma relação R de A em B é representada pelo símbolo R: A -> B:

R: A -> B <=> R C A x B

Exemplo:

Se A = {1,5} e B = {3,4,6}, então A x B = {(1,3), (1,4), (1,6), (5,3), (5,4), (5,6)}. Logo:

R = {(1,3), (1,6), (5,4)}

S = {(5.4)}

T = {(1,3), (1,4), (5,3), (5,6)}

são relações de A em B, uma vez que R, S e T são subconjuntos de A x B.

As relações que estabelecem uma condição matemática para que um determinado par ordenado (x,y) pertença à uma relação são de grande importância. Vejamos alguns exemplos para ilustrar o fato.

Se A = {1,3,4} e B = {2,4}, então A x B = {(1,2), (1,4), (3,2), (3,4), (4,2), (4,4)}. São relações de A em B:

a) R = {(x,y) Ɛ A x B | x = y} = {(4,4)}

b) S = {(x,y) Ɛ A x B | x/y Ɛ Z} = {(4,2), (4,4)}

c) T = {(x,y) Ɛ A x B | y – x = 1} = {(1,2), (3,4)}

Domínio e Imagem

Seja R uma relação de A em B.

1. Chama-se domínio de R, e denotamos por D(R), o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R. Ou, alternativamente, o conjunto de todos os elementos de A que estão associados a pelo menos um elemento de B.

2. Chama-se imagem de R, e denotamos por Im(R), o conjunto de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R.

Com base no exemplo anterior, temos:

a) D(R) = {4} e Im(R) = {4}

b) D(S) = {4} e Im(S) = {2,4}

c) D(T) = {1,3} e Im(T) = {2,4}

Referências

1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
2. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.