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A potenciação nos fornece um meio simples, prático e rápido para calcularmos a potência de grau 2 de um número inteiro, comumente conhecida como o quadrado desse número.
Como todos sabem, o meio em questão, corresponde ao produto (multiplicação) do número por ele mesmo, ou seja:
52 = 5 x 5 = 25
Mas, Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo, inventou uma regra diferente (e um pouco mais complicada, convenhamos) para obter o resultado da potência de grau 2 de um número, que consiste em:
O quadrado de um número inteiro n é igual a soma dos n primeiros números inteiros ímpares.
Para números pequenos vemos, facilmente, que a afirmação é verdadeira, através do uso direto do enunciado. Vejam:
- 12 = 1 (n = 1)
- 22 = 1 + 3 = 2 x 2 = 4 (n = 2)
- 52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 x 5 = 25 (n = 5)
- 72 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 7 x 7 = 49 (n = 7)
E como saber que a afirmação é válida para o número 5.227, por exemplo? No “braço” é extremamente trabalhoso comprovar, pois teríamos que somar os primeiros 5.227 números inteiros ímpares e, após, verificar que o resultado é igual ao quadrado de 5.227.
No entanto, se observarmos com um pouquinho mais de atenção veremos que a sequência formada pelos primeiros n números ímpares:
(1, 3, 5, 7, …., an)
é uma Progressão Aritmética (PA) de razão r = 2, onde an representa o enésimo termo ou o enésimo número ímpar.
Desse fato é suficiente, agora, utilizarmos das propriedades de uma PA. Mais especificamente das fórmulas do termo geral e da soma dos termos de uma PA finita, para demonstrarmos que Pitágoras esta com toda a razão (não a da PA).
Primeiro vamos determinar o valor de an em função de n:
an = a1 + (n – 1)r = 1 + (n – 1)2 = 2n – 1
Para concluirmos, mostrando que a soma Sn é igual a n2:
Sn = [(a1 + an)n]/2 = [(1 + 2n - 1)]n/2 = 2n2/2 = n2
Pronto! não é que o homem tinha razão?
Visite o Cabeçolinha – a bola (de gude) da vez.
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37 Respostas para “Curiosidade Matemática #5 – Método de Pitágoras para Calcular a Potência de Grau 2 de um Número”
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Não sabia que foi ele que inventou.. Apartir de hj sou fã dele… Tenho 13 anos e amo fazer PA aprendi nas turmas específicas que eu participava, na minha escola ! ÉR SHOW !
assim p/ falá a verdade eu to fazendo uma pesquisa para a 6 série e não encontrei nada do interesse EU PEÇO QUE FAÇAM UMA COISA específica desse jeito. mas mesmo assim o que eu tava com dúvida deu pra esclarecer esse lado POR FAVOR. XAU BEIJOS GLOS!!!!!
gostaria de saber como pode ser resolvido o seguinte exercício pois tenho a resposta mas não tenho o andamento(a+b)elevado a oitava potencia obrigada.
descobrir uma formula para calcular qualquer potencia. o que fazer?
Venerável Mestre Pitágoras!!!! ele tem sempre a razão
oi, muitos bom os exemplos da pra entender muitos mas fácil…
como reescrever em forma de potencia raiz quadrada
“O método de Alcides diz que todo número terminado em cinco ao quadrado é igual a dezena vezes a sua sucessora mais o vinte e cinco atrás.”
Deveria haver uma mudança na definição, em caso de números com três ou mais dígitos não basta pegar o algarismo da dezena, mas também os algarismos da centena, milhar, etc.
Por exemplo temos o número 105 ao quadrado:
a) eliminaríamos o último algarismo (5)
10
b) multiplicaríamos o número pelo seu sucessor:
10 x 11 = 110
c) adicionaríamos 25 ao final
11025
Outro exemplo, temos o número 1105 ao quadrado:
a) eliminaríamos o último algarismo (5)
110
b) multiplicaríamos o número pelo seu sucessor:
110 x 111 = 12210
c) adicionaríamos 25 ao final
1221025
Segue uma sugestão de definição:
“O método de Alcides diz que para calcular um número terminado em cinco ao quadrado teremos que eliminar o último algarismo (5). Devemos depois multiplicar o novo número pelo seu sucessor. E por fim adicionaríamos 25 ao final.”
Abraços!
a soma desse resultado é 8004, quem é que nao consegue fazer,xd!!!
É legal e facíl.
horrivel vezes horrivel que é igual a horrivel =c
rsrsrs horrivel
estou apenas falando oq acho simplismente…………..!!!
Matemática é uma coisa que pega em obrigada por vc existir mate
mtO interessante o truque curti
gostaria que houvesse orientação de como enviar problemas
para serem resolvidos ,por exempo:estou começando a navegar agora,por isso,ainda não sei alguns comandos
seria difícil uma orientação?
Poderei mandar neste espaço?
Parabèns por essa oportunidade, estão
promovendo a educação.Deus os abençoe!
Achei interessante . Mas fiquei triste porque não vale a pena esse monte de cálculos só para uma pequena coisa , além de ser difícil .
Gostaria de saber a historia das potencias e raizes… ficaria grato c me manderem
Para quem pode…
Qual o resultado da soma:
10³+11³+12³+13³+…+98³+99³100³ =?
A lei de Alcides
para calcular o quadrado dos números terminados em cinco
“Todo número terminado em cinco ao quadrado é igual ao produto do algarismo da dezena pelo seu sucessor com vinte e cinco atrás”
Para provamos está afirmação vamos partir da representação de um número qualquer N terminado em cinco:
N = 10m+5
Vamos agora elevar este número ao quadrado:
N² = (10m+5)²
N² = 100m²+100m+25
N² = 100(m²+m) +25
N² = 100[m(m+1)] +25
Logo teremos:
N² = 100m(m+1) +25
Ou
N² = 25[4m(m+1) +1]
O que prova que para qualquer número terminado em cinco sempre teremos o seu quadrado a partir do produto do algarismo da dezena com seu posterior com o número 25 atrás deste resultado.
Flávio Silva Almeida
Achei incrível como as coisas saõ especificas neste site! Porém sou da 7ª série e nada aqui me interessa
Achei bacana, mais to saindo daqui já!
Fui.
Gostei do método de Pitágoras para calcular o Quadrado de um numero natural, mas interessante mesmo é o método de Alcides para calcular o Quadrado de qualquer número terminado em cinco.
O método de Alcides diz que todo número terminado em cinco ao quadrado é igual a dezena vezes a sua sucessora mais o vinte e cinco atrás.
Ex.: 25²==> 2*3 ==> 6 ==>625
35²==> 3*4 ==> 12 ==> 1225
45²==> 4*5 ==> 20 ==> 2025
75²==> 7*8 ==> 56 ==> 5625
125²=> 12*13 ==> 156 ==> 15625
A5 ==> A.(A+1) ==> (a²+a)25
Mais informações ou caso queira me Desafiar:
flavioemx1@yahoo.com.br
Lesgaaaaaaaaaaaalllll!!!!!!!!!!!!1
mais uma coisa, em cima pede-se a soma dos primeiro 8 termos.
a resposta é 765, mas preciso da resolução….
por favor, resolve pra mim esse problema!!! (até 08/04/07 de preferencia) URGENTE!!!
Em uma P.G. de termos positivos, a diferença entre o 4º termo e o 1º termo é 21, e a diferença entre o 3º termo e o 1º termo é 9. Qual é a soma dessa progressão?
Obrigado
Algo sobre noções basicas de Teoria dos Números, ex. Divisibilidade, MDC, MMC e algoritmo da divisão. Aguardo RESPOSTAS uRGENTE SE POSSIVEL. oBRIGADO.
eu gostaria de saber as historia da potencia
tem comu voceis me mandarem um istorico completo dos numeros inteiro?!?!?
é p/ um trabalho de matematica
ok???
brigadu
tchau
pq vcs nao poem uma calculadora neste site fikaria mais facil de entender!!!
GOSTARIA DE SABER A HISTÓRIA DAS POTÊNCIAS E RAÍZES
gostaria de saber como se calcula o quinto termoda sequencia tal que a1=1,a2=-1 e 2.Ai-1.Ai+1,ieN E I >2?
gostaria de saber como fasso para fazer essa pg.
Em uma pg, o primeiro termo é 2 e o quarto termo é 54.O quinto termo dessa pg é:
desde já agradesso..vlw
Em uma pg, o primeiro termo é 2 e o quarto termo é 54.O quinto termo dessa pg é:
Dados do problema:
a2 – a1 = 9
a5 – a4 = 576
Pela fórmula do termo geral de uma PG, podemos reescrever as igualdades acima como:
a1q – a1 = 9 => a1(q – 1) = 9 => q – 1 = 9/a1 [1]
a1q4 – a1q3 = 576 => a1q3( q – 1) = 576 [2]
Substituindo [1] em [2]:
a1q3(9/a1) = 576
=> q3 = 576/9 = 64 => q = 4
Logo, o valor de a1 é igual a 3, calculado substituindo o valor de q em [1].
gostaria de saber com fasso para fazer essa PG:
Numa PG,a diferença entre o 2° e o 1° termo é 9 e a diferença entre o 5° e o 4° é 576.O primeiro termo da progreção é:
estou aguardando anciosamente…mas desde de já agradeçendo..
vlw..
Gostaria de saber como faço pra resolver esta os termos desta P.G. , ( calcular a soma dos 7 primeiros termos da P.G :(1,3.9,…)
ficarei aguardando e deste já agradeço…senis
Boa dica. Eu aprendi isso para calcular raiz quadrada, não tinha pensado nessa possibilidade.
É realmente interessante. Pena que para números grandes a coisa já fica complexa.
Mas é uma boa dica.
Caramba, muito boa essa.. =]
hehe. Truque muito bom.