Arquivos: novembro, 2006

Tenho lido por esse mundão de Deus afora, artigos que questionam e colocam em discussão temas – válidos e interessantes – sobre o que é (ou não) importante na arte (?) de blogar, e sempre me vem a lembrança o que me fez enveredar por esse caminho no final de janeiro de 2006.

Na época (e até então) se restringiam (e se restringem) a duas razões: uma de cunho social e a outra de cunho pessoal. Simples assim, até porque não detinha conhecimento suficiente sobre o assunto. É claro, que levava em conta a variável risco presente em qualquer empreendimento. Não a de ordem financeira, pois o custo é, pode-se dizer, relativamente pequeno ou nulo frente a segunda razão.

Calma, vou explicar!

Tenho uma característica (certamente não é privilégio meu), desde muitos anos, de experimentar coisas novas por conta própria e a mesma facilidade de abandoná-las depois de adquirir um certo conhecimento sobre as mesmas. Nessas, frise-se, e somente nessas condições, me considero um “cabra” altamente volúvel ou instável.

E você pode agora me perguntar:

- E daí cara, o que isto tem a ver com blogar a custo zero?

E eu lhe respondo:

- Foi o meio que eu encontrei para me forçar a diminuir o grau de volubilidade.

Ou seja, o investimento eu faria de qualquer maneira (eu me conheço!), mas, em contrapartida tenho, dessa maneira, benefícios enormes, dentre os quais posso destacar:

• Tenho aprendido um pouco a cada dia com meus parceiros-blogueiros (ou seria concorrentes? rsrsrs);
• Revisto conhecimentos que tinha adquirido e foram abandonados (não disse!) no passado;
• E, principalmente, adquirido novos conhecimentos e me aprofundado nos que conhecia, de forma constante e estável neste ano.

Logo, como a concluir a demonstração de um teorema, a relação custo-benefício me é altamente favorável.

Quanto a razão social (Viche! parece coisa de empresa) se resume na seguinte frase: considero-me uma pessoa privilegiada por tudo que a Sociedade me deu e, portanto, devo compartilhar com ela (ou parte dela) os conhecimentos que me foram proporcionados.

Mas, aí veio o dilema: E se não houver interesse pelo que escrevo? Bom, este era um risco futuro e não interferiu na minha decisão.

Hoje, arrisco dizer que valeu a pena, sob os dois ângulos adotados por mim. E tomo por base as estatísticas do Viche e os comentários recebidos sobre os artigos publicados.

Claro, que apesar de tudo o que foi dito não me considero um idealista ou puritano. E se houver oportunidade de faturar com o blog, dentro das regras de boa conduta estabelecidas, não vou desperdiçá-la. Afinal não sou rico, como, bebo, fumo, tenho filhos e outras coisas mais! Tõ doido, tô doido, tô doido, será?

Minha idéia inicial era escrever sobre a validação de campos de formulário, uma operação relativamente simples, com o uso da ferramenta AJAX. Mudei de rumo (fica para outra oportunidade, a ver se interessa) em função do que digo um pouco mais abaixo (vocês, certamente, vão descobrir) para abordar dois aspectos relacionados, que considero, como os principais e os mais importantes, sobre o assunto:

1. Usabilidade;
2. Validação do lado do servidor com a linguagem utilizada na aplicação em uso ou em desenvolvimento e/ou do lado do cliente com JavaScript.

Quanto ao primeiro item a boa prática recomenda que devemos fazer o possível (ou até o impossível) para impedir que erros ocorram. E, se por acaso, não puder ser feito procure informar (o “jeito” deixo por sua conta) a seus usuários os erros ocorridos tão logo possa.

No entanto, mesmo com as técnicas hoje existentes para evitar (será?) a situação e melhorar a interação com o usuário, é comum se deparar com formulários, as vezes até extensos, em que recebemos a resposta de erro após clicar no famigerado (nestes casos) botãozinho do Submit, Ok, Enviar ou qualquer outro nome que venha a ter. E o que é pior, retorna o erro com o formulário totalmente em branco.

Se o seu browser não estiver parametrizado com o autocomplete ou algo como no FF – Memorizar dados fornecidos a formulários e ao campo de pesquisa -, o único jeito é redigitar tudo. Só faço isso em caso de total interesse, mas mesmo assim desabafo: p#*% que p*&%@. Quando parametrizado basta digitar a(s) primeira(s) letra(s) ou número(s) e aparece a “janelinha” milagrosa para selecionar a informação o que, apenas, ameniza o desabafo.

Quem não passou por essa situação levante o dedo ou, se sim, desabafe nos comentários, mas com bastante calma, heim!

No WordPress, se você não tiver um plugin ou template com JavaScript/AJAX, a validação do formulário de contato, por exemplo, ocorre, como padrão, do lado do servidor. Pelo menos a experiência não é tão dolorosa pois ele retorna com a mensagem dos erros ocorridos e com a informação dos campos digitados anteriormente.

Aliás, foi esse fato que me motivou a escrever este artigo, quando resolvi testar o formulário de contato aqui do Viche. Ele faz exatamente como dito acima, só que as mensagens de erro estão escritas em inglês quando retorna. A mancada permanece só para “inglês ver”.

Resolvi, então, perambular por alguns blogs e sites dos quais assino o feeds (de famosos, pretendentes a, e nem tanto) e me deparei com situações como:

1. Inexistência de formulário de contato (até aqui, tudo bem, a opção é de cada um. E viva a democracia!);
2. Formulários com erros (literalmente);
3. Formulários que criticam de forma eficiente, do lado do cliente, os campos Nome e E-Mail, mas deixam enviar (pelo menos não deu aviso) com o campo Mensagem em branco;
4. Parceiros meus, que retornam a(s) mensagem(ns) de erro em inglês (boa companheiro!) ou mista (português-inglês ou vice-versa);
5. Formulários que criticam todos os campos do lado do cliente com JavaScript (caixa de alerta), porém, quando desabilitei (o JavaScript, claro!) ficou “mudinho”, ou seja, não deu erro e nem mensagem de confirmação (se foi para a caixa postal do autor, sabe-se lá);
6. Sem a adequada informação de quais campos são obrigatórios;
7. Formulários que criticam apenas do lado do servidor, mas com mensagens de erro em português e a validação correta (meus parabéns).

Diante dos fatos apontados será o caso de se criar uma nova campanha, a do Formulator Validator Tabajara? Se não for o caso, dê uma testadinha básica no seu formulário de contato, desde que disponibilizado (óbvio!), e nos:

• informe em qual categoria acima você está; ou
• acrescente uma nova, a lista;
• alternativamente, você pode sugerir um nome para a campanha :-).

Para encerrar, sou a favor do e para a validação de formulário (veja item 2. no início do artigo), apesar do duplo esforço. E você, diga aí o que acha e qual a razão?

A potenciação nos fornece um meio simples, prático e rápido para calcularmos a potência de grau 2 de um número inteiro, comumente conhecida como o quadrado desse número.

Como todos sabem, o meio em questão, corresponde ao produto (multiplicação) do número por ele mesmo, ou seja:

5² = 5 x 5 = 25

Mas, Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo, inventou uma regra diferente (e um pouco mais complicada, convenhamos) para obter o resultado da potência de grau 2 de um número, que consiste em:

O quadrado de um número inteiro n é igual a soma dos n primeiros números inteiros ímpares.

Para números pequenos vemos, facilmente, que a afirmação é verdadeira, através do uso direto do enunciado. Vejam:

• 1² = 1 (n = 1)
• 2² = 1 + 3 = 2 x 2 = 4 (n = 2)
• 5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 x 5 = 25 (n = 5)
• 7² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 7 x 7 = 49 (n = 7)

E como saber que a afirmação é válida para o número 5.227, por exemplo? No “braço” é extremamente trabalhoso comprovar, pois teríamos que somar os primeiros 5.227 números inteiros ímpares e, após, verificar que o resultado é igual ao quadrado de 5.227.

No entanto, se observarmos com um pouquinho mais de atenção veremos que a sequência formada pelos primeiros n números ímpares:

(1, 3, 5, 7, …., a_n)

é uma Progressão Aritmética (PA) de razão r = 2, onde a_n representa o enésimo termo ou o enésimo número ímpar.

Desse fato é suficiente, agora, utilizarmos das propriedades de uma PA. Mais especificamente das fórmulas do termo geral e da soma dos termos de uma PA finita, para demonstrarmos que Pitágoras esta com toda a razão (não a da PA).

Primeiro vamos determinar o valor de a_n em função de n:

a_n = a₁ + (n – 1)r = 1 + (n – 1)2 = 2n – 1

Para concluirmos, mostrando que a soma S_n é igual a n²:

S_n = [(a₁ + a_n)n]/2 = [(1 + 2n - 1)]n/2 = 2n²/2 = n²

Pronto! não é que o homem tinha razão?

Visite o Cabeçolinha – a bola (de gude) da vez.

Em sequência ao artigo Conjuntos: Noções Básicas – Parte I vamos agora abordar as principais operações com conjuntos.

Reunião ou União

Consideremos os dois conjuntos:

A = {b, l, o, g, i, e} e B = {b, v, i, l, c, h, e}

Podemos pensar num novo conjunto C, constituído por aqueles elementos que pertencem a A ou que pertencem a B. No exemplo em questão esse novo conjunto é:

C = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}

Repare que o conjunto C foi formado a partir dos conjuntos A e B, onde os elementos repetidos (os que estão em A e em B) foram escritos apenas uma vez, e dizemos que se trata da reunião (ou união) do conjunto A com o conjunto B. A reunião (ou união) de A e de B (ou de A com B) é usualmente representada por A U B. Com esta notação tem-se:

A U B = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}

Esse exemplo sugere-nos a seguinte definição geral para a reunião de conjuntos.

Definição 1. Dados dois conjuntos quaisquer A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos:

Exemplos:

• {1; 2} U {3; 4} = {1; 2; 3; 4}
• {n, e, w, t, o, n} U {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w}

A definição 1 nos diz que um elemento x pertencer a A U B é equivalente a dizer que uma das proposições “x pertence A” ou “x pertence a B” é verdadeira. Desse fato decorre que:

Propriedades da União

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:

1. Idempotência: A U A = A -> A união de um conjunto qualquer A com ele mesmo é igual a A;
2. Comutativa: A U B = B U A;
3. Elemento Neutro: Ø U A = A U Ø = A -> O conjunto Ø é o elemento neutro da união de conjuntos;
4. Associativa: (A U B) U C = A U (B U C).

Demonstração da propriedade comutativa:

Da definição da união de conjuntos temos:

Como A U B é o conjunto dos elementos de U (universo) que, ou pertencem a A, ou pertencem a B e B U A é o conjunto dos elementos de U que, ou pertencem a B, ou pertencem a A, e as proposições p v q (p ou q) e q v p (q ou p) têm o mesmo valor lógico, concluí-se que a propriedade é verdadeira.

Intersecção

Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo supor que houve eleitores que votaram simultaneamente nos dois candidatos no primeiro turno. Assim somos levados a definir um novo conjunto, cujos elementos são aqueles que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto nos leva à seguinte definição geral.

Definição 2. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos intersecção de A e de B (ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido:

Exemplos:

Da definição de intersecção resulta que:

Os fatos acima nos diz que A intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou seja:

Propriedades da Intersecção

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:

1. Idempotência:

2. Comutativa:

3. Elemento Neutro – O conjunto universo U é o elemento neutro da intersecção de conjuntos:

4. Associativa:

Demonstração da propriedade associativa:

O conjunto do primeiro membro da igualdade é constituído pelos elementos x pertencentes a U tais que (por definição):

onde na segunda passagem foi utilizada, novamente, a definição de intersecção entre os conjuntos B e C. Tendo em vista que a proposição p ^ (q ^ r) tem o mesmo valor lógico da proposição (p ^ q) ^ r vem que esse conjunto é constituído por elementos de U tais que:

Assim, fica demonstrado que o primeiro conjunto da igualdade está contido no segundo. Para concluir a demonstração, isto é, provar que o segundo conjunto está contido no primeiro, é só seguir o caminho inverso

Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção entre eles é igual ao conjunto vazio.

Propriedades da União e Intersecção

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer, então valem as seguintes propriedades que inter-relacionam a união e intersecção de conjuntos:

Note que a propriedade 3 é a distributiva da união em relação à intersecção e a 4 a distributiva da intersecção em relação à união.

Diferença

Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo pensar que teve eleitores que votaram em Lula mas não votaram em Arlete. Isto nos leva ao conjunto dos elementos de A que não são elementos de B.

Definição 3. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos a diferença entre A e B o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.

Exemplos:

• {a, b, c} – {a, c, d, e, f} = {b}
• {a, b} – {e, f, g, h, i} = {a, b}
• {a, b} – {a, b, c, d, e} = Ø

Antes de prosseguirmos apresento, a título de ilustração, um diagrama de Euler-Venn com os conceitos até aqui tratados, onde a diferença corresponde à parte branca de A, a intersecção à parte cinza claro e a união à essas duas partes mais a cinza escuro.

Note que as propriedades 1. e 2. acima podem ser facilmente visualizadas nesse diagrama.

Complementar de B em A

Definição 4. Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se complementar de B em relação a A o conjunto A – B, e indicamos como:

Exemplos:

• A = {a, b, c, d, e, f} e B = {a, b} => complementar: A – B = {c, d, e, f}
• A = B = {1} => complementar: A – B = Ø

Observe que nos exemplos acima a condição para que o complementar de B em relação a A esteja definido é cumprida (B contido em A).

Propriedades da Complementação

Sendo B e C subconjuntos de A, valem as propriedades a seguir:

Vamos demonstrar apenas a primeira parte da propriedade 1. As demais deixo como exercício, me colocando à disposição para sanar eventuais dúvidas.

Da definição de intersecção de conjuntos e do complementar temos que:

Referências

1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
2. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.

Este artigo e o a ser publicado – Parte II – se propõem a apresentar as principais propriedades da Teoria dos Conjuntos, que tem sua origem nos trabalhos do Matemático russo Georg Ferdinand Ludwig Phillipp Cantor, nascido em S. Petersburgo (1845-1918), e são decorrência de três axiomas ou noções primitivas – noções cuja verdade é de si evidente:

a) Conjuntos

A noção de conjunto em Matemática é praticamente a mesma utilizada na linguagem cotidiana: agrupamento, classe, coleção. Por exemplo:

• Conjunto das letras maiúsculas do alfabeto;
• Conjunto dos números inteiros pares;
• Conjunto dos dias da semana;
• Conjunto dos Presidentes da República do Brasil.

b) Elemento

Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto. Assim:

• V, I, C, H, E são elementos do primeiro conjunto acima;
• 2, 4, 6 são elementos do segundo;
• Sábado, Domingo do terceiro; e
• FHC, Lula do último.

c) Pertinência entre elemento e conjunto

Por exemplo, V é um elemento do conjunto das letras maiúsculas do alfabeto, ou seja, V pertence àquele conjunto. Enquanto que v não pertence.

Como se vê são conceitos intuitivos e que se supõe sejam entendidos (evidentes) por todos.

Notação

Conjunto: Representado, de forma geral, por uma letra maiúscula A, B, C, …

Elemento: Por uma letra minúscula a, b, c, x, y, z, …

Pertinência: Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x é um elemento de A (ou x pertence a A) indicamos por:

Caso contrário, ou seja, se x não é um elemento de A (ou x não pertence a A) escrevemos:

Representações de Conjuntos

a) Extensão ou Enumeração

Quando o conjunto é representado por uma listagem ou enumeração de seus elementos. Devem ser escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula.

Exemplos:

• Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa, Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana};
• Conjunto dos meses com menos de 31 dias: {fevereiro, abril, junho, setembro, novembro};
• Conjunto dos números pares inteiros maiores do que 8 e menores do que 22: {10; 12; 14; 16; 18; 20}.

Observações:

1. Na representação por extensão cada elemento deve ser escrito apenas uma vez;
2. É uma boa prática adotar a separação dos elementos em conjuntos numéricos como sendo o ponto-e-vírgula, para evitar confusões com as casas decimais: {2;3;4} e {2,3;4};
3. Esta representação pode, também, ser adotada para conjuntos infinitos em que se evidencia a lei de formação de seus elementos e colocando-se reticências no final: {2, 4, 6, 8, 10, …};
4. Representação semelhante pode ser adotada para conjuntos finitos com um grande número de elementos: {0, 1, 2, 3, …, 100}.

b) Propriedade dos Elementos

Representação em que o conjunto é descrito por uma propriedade característica comum a todos os seus elementos. Simbolicamente:

A = {x | x tem a Propriedade P}

e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que (|) x tem a propriedade P.

Exemplos:

• A = {x | x é um time de futebol do Campeonato Brasileiro de 2006};
• B = {x | x é um número inteiro par e 8 < x < 22}. Último exemplo do item a) acima;
• C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}.

c) Diagrama de Euler-Venn

Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e não entrelaçada, como mostrado na figura abaixo. Os pontos dentro da linha fechada indicam os elementos do conjunto.

Conjunto Unitário e Conjunto Vazio

Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia de pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a existência de conjunto com apenas um elemento, chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado de conjunto vazio (Ø).

O conjunto vazio é obtido quando descrevemos um conjunto onde a propriedade P é logicamente falsa.

Exemplos de Conjuntos Unitários:

• Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro};
• Conjunto dos números inteiros maiores do que 10 e menores do que 12: {11};
• Conjunto das vogais da palavra blog: {o}.

Exemplos de Conjuntos Vazios:

• {x | x > 0 e x < 0} = Ø;
• Conjunto dos meses com mais de 31 dias;
• {x | x² = -1 e x é um número real} = Ø.

Conjunto Universo

É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U.

Assim, se procuramos determinar as soluções reais de uma equação do segundo grau, nosso conjunto Universo U é R (conjunto dos números reais); se estamos interessados em determinar os deputados federais envolvidos com o mensalão, nesse caso o universo U tem como elementos todos os deputados federais da atual legislatura.

Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através de uma propriedade P, fixemos o conjunto universo em que estamos trabalhando, escrevendo:

Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A:

Observações:

1. A título de ilustração: O A invertido na expressão acima significa “para todo”;
2. {a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a noção de ordem não interfere na igualdade de conjuntos;
3. É evidente que para A ser diferente de B é suficiente que um elemento de A não pertença a B ou vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b, c, d}.

Subconjunto

Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, e sómente se, todo elemento x pertencente a A também pertence a B:

onde a notaçãosignifica “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. A leitura da notação no sentido inverso é feita como “B contém A”. Observe que a abertura do sinal de inclusão fica sempre direcionado para o conjunto “maior”. Na forma de diagrama é representado como:

Exemplos:

• {1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6}
• Ø C {a, b};
• {a, b} C {a, b};
• {a, b, c} ¢ {a, c, d, e}, onde ¢ significa “não está contido”, uma vez que o elemento b do primeiro conjunto não pertence ao segundo.

Observe que na definição de igualdade de conjuntos está explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, ou seja, que A está contido em B e B está contido em A. Assim, para provarmos que dois conjuntos são iguais devemos provar que:

Propriedades da Inclusão

Sejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem as seguintes propriedades:

1. Ø C D: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;
2. D C D: Todo conjunto é subconjunto de si próprio (propriedade Reflexiva);
3. D C E e E C D => D = E: veja acima (propriedade Anti-Simétrica);
4. D C E e E C F => D C F: Se um conjunto é subconjunto de um outro e este é subconjunto de um terceiro, então o primeiro é subconjunto do terceiro (propriedade Transitiva).

Com exceção da primeira propriedade, a demonstração das demais é bastante intuitiva e imediata. Vamos, portanto, provar a primeira:

Partimos da tese de que se o conjunto vazio não é um subconjunto de D, então é necessário que pelo menos um elemento desse conjunto não esteja contido no conjunto D. Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, a sentença Ø ¢ D é sempre falsa. Logo, o conjunto vazio está contido em D é sempre verdadeira.

Conjunto das Partes

Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto E – P(E) – o conjunto formado por todos os subconjuntos de E:

Exemplos:

• Se A = {a, b, c}, então P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}. {a.b}, {a.c}. {b,c}, {a,b,c}}
• Se B = {a, b}, então P(B) = {Ø, {a}, {b}, {a,b}};
• Se C = {a}, então P(C) = {Ø, {a}}.

Observações:

1. Enfatizo, apesar de colocado na própria definição, que os elementos de P(E) são conjuntos;
2. Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos símbolos pertence (não pertence) e contido (não contido);
3. No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e {{a}} é um subconjunto de P(A);
4. Se definirmos n(E) como sendo o número de elementos do conjunto E, então n(P(E)) = 2^n(E). A propriedade é válida para conjuntos finitos;
5. Veja nos exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 2³, n(B) = 2 e n(P(B)) = 4 = 2² e n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 2¹.

A demonstração do item 5. é feita pelo Princípio da Indução Finita e será feita oportunamente.

Por enquanto é só. Aguardem o próximo artigo. Enquanto isto dê a sua opinião nos comentários, ela é muito importante.

Referências

1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
2. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.