Arquivos: agosto, 2006

Uma das coisas que acho trabalhosa no WordPress é editar código.

Visualmente no editor do WP, quando se digita um trecho de código, tudo parece funcionar as mil maravilhas. Os problemas surgem quando se aciona o botão salvar ou publicar do editor. Ele destroi toda a indentação, importante para uma leitura mais adequada do código, e faz uns ajustes automáticos no HTML que geram, as vezes, resultados imprevisíveis.

Esse comportamento, talvez, seja decorrência do fato de o WP ter sido criado, também e principalmente, para quem não conhece a linguagem de marcação.

Questionei algumas pessoas sobre esses fatos e, para minha surpresa, as dificuldades que elas tinham eram muito semelhantes. Utilizo-me bastante do Writely para a edição dos meus posts, mas os problemas permanecem, tanto na publicação a partir desse editor, como através da velha e conhecida técnica de copiar e colar.

Se não me engano, li também, provavelmente por conta dessas deficiências, que outras pessoas utilizam plugins para substituir o editor padrão do WP. Se é de seu conhecimento e funciona, agradeceria se você deixasse a sua indicação nos comentários.

Eu, do lado de cá, fiz uma rotina simples em AJAX para, paliativamente, solucionar os (meus) problemas mencionados e que disponibilizo a seguir para sua apreciação e julgamento.

Veja o código JavaScript AJAX utilizado. Ao clicar no link o código é exibido e ao clicar novamente é fechado. Experimente!

[Update] Os sinais de menor e maior, entre aspas, no código JavaScript AJAX correspondem à &_lt; e &_gt;, respectivamente, sem o concatenado.

Um outro exemplo de uso da mesma rotina, que aciona um programa PHP do lado do servidor e retorna como resposta um arquivo XML.

E, por último, veja o código do programa PHP usado acima.

Pelo menos os códigos ficam mais bonitos e compreensíveis (eu acho). E, por um lado, o texto fica mais condensado, mas por outro exige um clique a mais nos links. E você o que achou?

Motivado pelo Desafio do Maujor, recém concluído com a vitória do excelente trabalho do Sérgio Burlamaqui, criei o tema Viche para o Blog.

Não é pretensão, nem de longe, fazer comparações, pois não sou Web Designer (e mesmo que fosse). Apenas dedico um pouco de meu tempo lendo (praticando, nem tanto) assuntos relacionados à área e da qual sou admirador de carteirinha. Quem sabe ainda chego lá um dia.

Os demais temas continuam disponíveis para você selecionar aquele que é de seu agrado. Se nenhum deles atender seus critérios de estética ou de leitura a culpa, pelo menos, não será totalmente toda minha, uma vez que alguns deles permanecem praticamente como o seu autor o desenhou.

Para quem já escolheu um como padrão, dê pelo menos uma olhada no novo, sem compromissos. Para isto é só selecionar na aba Temas na barra de navegação o de mesmo nome do Blog.

Não tenho nenhum prêmio para oferecer, mas se você desejar fazer sugestões, garanto, serão muito bem recebidas e avaliadas (olha só! até parece que sou um profundo conhecedor).

Finalmente, registro que enviei um desenho para o Desafio do Maujor mais como uma forma de agradecer ao Mestre que nos presta tão bons serviços do que para vencer (óbvio demais). Ele topou publicar e eu ganhei um bondoso voto – juro de pés juntos que não foi o meu -, ao qual agradeci nos comentários do Resultado do Desafio e o faço novamente agora.

Estes dias recebi um E-Mail de um amigo com o título “Como Pode??” e a questão abaixo, com a seguinte solicitação “me explica matematicamente”.

A matemática tem coisas que nem Pitágoras explicaria. Aí vai uma delas…

Pegue uma calculadora porque não dá pra fazer de cabeça, a não ser que você seja um gênio, ou seja parecido comigo…

1. Digite os 4 primeiros algarismos de seu telefone (não vale número de Celular);
2. multiplique por 80;
3. some 1;
4. multiplique por 250;
5. some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone;
6. some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone de novo;
7. diminua 250;
8. divida por 2…

Reconhece o resultado?

Para essa eu tiro o chapéu…

Antes de explicar, algumas observações quanto ao texto recebido (está tal e qual ou sem tirar nem por):

• Tem um pouco de exagero (nem Pitágoras…) e se aplica, na verdade, a qualquer número com oito algarismos, e sómente com oito;
• Daí a observação no item 1: não vale número de celular, o que indica se tratar de um problema antigo, da época em que existia número de celular com sete algarismos (salvo engano, a exigência da Anatel já foi aplicada em todo o Território Nacional);
• O charme da “mágica” está, em envolver no item 1, algo de pessoal do questionado – o número de seu telefone no lugar de um número qualquer com oito algarismos. Talvez, por isso, a afirmação (Para essa eu tiro o chapéu…). E o “Reconhece o resultado?”, como você já percebeu, será o número do telefone do questionado.

Vamos, agora, desvendar a mágica, primeiro estabelecendo onde os passos de 1 a 8 sempre vai levar (a tese) e a seguir o porquê (a demonstração).

Sejam P1 o número obtido a partir dos 4 primeiros algarismos de um número de telefone qualquer com oito algarismos (ou de um número qualquer com oito algarismos) e P2 o obtido pelos quatro últimos algarismos. Então o resultado dos passos 1 a 8 acima é sempre:

10000P1 + P2

que nada mais é do que o número do telefone representado de outra maneira. Pois, se você observar, ao multiplicarmos P1 (4 primeiros algarismos) por 10000 obtemos um outro número formado por P1 com quatro zeros no final, que somado a P2 (os outros 4 algarismos) resulta no dito cujo.
Demonstração:

Seguindo os passos:

passo 1: P1 é digitado;

passo 2: 80P1 -> multiplicado por 80;

passo 3: 80P1 + 1 -> somado 1;

passo 4: (80P1 + 1)250 -> multiplicado por 250;

passo 5: (80P1 + 1)250 + P2 -> somado P2;

passo 6: (80P1 + 1)250 + P2 + P2 -> somado P2 novamente;

passo 7: [(80P1 + 1)250 + P2 + P2] – 250 -> diminuido 250;

passo 8: {[(80P1 + 1)250 + P2 + P2] – 250}/2 = R -> dividido por 2;

E resolvendo a expressão (R) obtida no passo 8 vem:

R = {[20000P1 + 250 + 2P2] – 250}/2 =>

R = {20000P1 + 2P2}/2 => R = 10000P1 + P2

Em outras palavras, os passos 2, 4 e 8 definem o produto de P1 por 10000 (80*250/2). O 3 e o 7, junto com o 4, na verdade soma e subtrai 250, e portanto de efeito nulo. E, finalmente, o 6 e o 7 geram como resultado 2P2, que no passo 8 se transforma em P2. As operações são direcionados intencionalmente para se obter o resultado esperado e criar um “clima” de aparente complexidade.

O dia 21/08/2006 se aproxima e vem a lembrança de que Minha Maria completaria, nessa data, 80 anos ou oito décadas de vida. Certamente, por isso, veio também e muito forte a saudade, apesar de serena. O tempo apenas ameniza esse sentimento e torna a ausência mais aceitável.

Saudades de Minha Maria, a quem devo muito e com quem compartilhei experiências, amor, amizade, carinho e tantas outras coisas inerentes à vida em comum. Ah! e as outras coisas, principalmente aquelas em que ocorrem conflitos passageiros, a gente relega, esquece, afasta quando se trata de uma pessoa muito querida.

Apesar da minha Maria não ter sido adepta desse tipo de comportamento, ninguém é perfeito. Sua postura sempre foi a de servir e unir, mesmo que em volta dela.

Saudades da minha Maria, pessoa simples e generosa com escassos conhecimentos formais mas com uma visão de mundo como poucas. Tinha a admirável capacidade de aceitar e respeitar as pessoas e os avanços sociais, culturais e tecnológicos com muita naturalidade, mesmo que, as vezes, contra os seus princípios, firmados com base em outro ambiente e outra época.

A Maria presente, participativa e defensora ferrenha da educação de seus filhos (pariu 8), que com seu companheiro – o bom “velho” e amigo George -, hoje com 86 anos e próximo dos 87, não pouparam esforços nessa caminhada, normalmente, tão difícil.

Recordo-me do orgulho do Senhor George (com o qual a minha Maria estava de pleno acordo) claramente explicitado em uma carta enviada e publicada em um Jornal de Fortaleza. Era uma reportagem sobre o aborto, em que ele se posicionava frontalmente contra a prática e onde escreveu algo mais ou menos assim: “tenho oito filhos e trabalhei que nem jumento em construção de açude para dar o melhor possível a todos eles, assumindo junto com a mãe, a responsabilidade do ato (aquele) e hoje sinto-me altamente recompensado”. E disse porque: “se tivesse medo de Doutor não entraria em casa” e cita nominalmente os seus oito filhos.

A minha Maria e o meu George não receberam, por motivos que não vem ao caso, a herança mais importante – talvez a única – que os pais devem procurar deixar para os filhos, a Educação. E, nem por isso (ou talvez por isso), deixaram de cumprir, de forma magistral, com suas responsabilidades de pais e foram correspondidos a altura.

Meu “velho” amigo George, como você vê, ao lembrar de minha Maria, não poderia deixá-lo de “lado” nunca, ainda mais que amanhã (13/08) será o dia de comemorar o DIA DO MEU PAI e me solidarizar com os demais. Mas você está aqui entre nós e eu posso falar, ouvir, apalpar (no bom sentido), pedir conselhos e tantas outras coisas mais, e até lhe desejar um Feliz Dia dos Pais estensível a todos os demais que lerem essa mensagem.

Já da minha Maria só me resta sentir saudades e prestar esta homenagem. Saudades da Minha Maria!

Em nosso cotidiano é muito comum nos depararmos com situações que envolvam problemas de contagem. Desde as mais simples, em que se é possível determinar através, por exemplo, de um diagrama de árvore, a quantidade de maneiras em que dois ou mais eventos correlacionados podem ocorrer, como com situações em que é necessário se utilizar de métodos especiais de contagem.

Um exemplo simples consiste em determinar quantos anagramas podem ser formados com o uso das quatro letras da palavra BLOG. Mesmo que você ainda não conheça a teoria da Análise Combinatória, é perfeitamente possível chegar ao resultado através da listagem exaustiva das possibilidades ou do uso de um diagrama. Veja abaixo uma das formas de se demonstrar que existem 6 possibilidades de anagramas iniciados com a letra B (BLOG, BLGO, BOLG, BOGL, BGOL e BGLO).

O uso do mesmo raciocínio para as demais letras (L, O e G) nos permite concluir que o número de possibilidades é igual a 24 (4 x 6). Adiante, veremos que a solução é bastante simples, não havendo necessidade de montar um diagrama como o acima, a menos que se queira saber quais são os anagramas, para estabelecer com precisão o resultado.

Mesmo esse caso exige um pouco de trabalho e interpretação para se obter o valor. Agora imagine se você necessitasse determinar a sua chance de ganhar na Mega Sena ou saber quantas placas de carros podem ser construídas com o uso de três letras e quatro algarismos?

É óbvio que o método utilizado acima seria totalmente impraticável para solucionar essas questões. São situações desse tipo, em que se exige a organização e a contagem de grupos, que serão o objeto deste artigo.

Princípio Fundamental da Contagem

O princípio fundamental da contagem estabelece de quantas maneiras dois ou mais eventos correlacionados podem ocorrer.

Assim, se um evento A pode ocorrer de m maneiras diferentes, representadas por a₁, a₂, …, a_m, e, se para cada uma dessas m maneiras um segundo evento B, pode ocorrer de n maneiras diferentes, representadas por b₁, b₂, …, b_n, então o número de maneiras que esses eventos podem ocorrer, um seguido do outro, é igual a mn.

Para demonstrar o princípio é suficiente observar que para cada ocorrência a_i, i = 1, 2, …., m do evento A existem n maneiras de ocorrer o evento B, ou seja, para cada ocorrência a_i de A existem n maneiras em que esses eventos podem ocorrer um seguido do outro. Simbolicamente temos que

(a_i, b₁), (a_i, b₂), …., (a_i, b_n)

onde cada par ordenado representa a ocorrência simultânea dos dois eventos (n vezes) para cada maneira a_i de A. Como i varia de 1 a m, teremos n + n + …. + n (m vezes), que é igual a mn.

Acima consideramos, apenas, a ocorrência de dois eventos distintos. E se fossem iguais, onde uma maneira não pudesse ocorrer, com ela mesma, simultaneamente? E se ocorressem r eventos (r > 2), com maneiras n₁, n₂, …, n_r, respectivamente?

A resposta à primeira pergunta seria m(m – 1), uma vez que m = n e a ocorrência simultânea dos dois eventos é m – 1, para cada maneira a_i, pois, por hipótese, não pode haver repetições do tipo (a_i, a_i).

Para a segunda, a resposta é n₁.n₂. … .n_r e a demonstração pode ser feita pelo princípio da indução finita sobre r, ou seja, provar que é válida para r = 2 (feito acima), supor que é verdadeira para r = p e demonstrar que é verdadeira para r = p + 1 (fica como exercício).

Exemplo 1: Com base no princípio apresentamos, a seguir, outro método para se determinar o número de anagramas formados com a palavra BLOG.

Solução:

• Há quatro (4) maneiras para a escolha da primeira letra;
• Para cada escolha da primeira letra, há três (3) possibilidades para a escolha da segunda;
• Para cada escolha do primeiro par de letras, há duas (2) possibilidades para a escolha da terceira;
• E, finalmente, para cada escolha das primeiras três letras, há somente uma (1) possibilidade para a escolha da quarta.

Portanto, podemos concluir, pelo princípio fundamental da contagem, que o número de anagramas é igual a 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Exemplo 2: Determinar o número de placas de carros que podem ser construídas com o uso de três letras e quatro algarismos.

Solução:

Para resolver o problema, primeiro vamos determinar quantas possibilidades existem para combinar as três letras. Como sabemos que o alfabeto possui 26 letras e é permitida a repetição há 26 maneiras para a escolha da primeira letra, 26 para a segunda e 26 para a terceira. Portanto, existem, pelo princípio fundamental da contagem:

26 x 26 x 26 = 17.576

combinações possíveis.

De forma análoga pode-se afirmar que existem 10.000 combinações possíveis que podem ser estabelecidas com os quatro algarismos. Como a cada escolha de três letras se constroem 10.000 placas, vem que o total de placas é:

10.000 x 17.576 = 175.760.000

A título de curiosidade: Segundo o DENATRAN – Departamento Nacional de Trânsito, do Ministério das Cidades, existiam em 2003, 36.658.501 veículos automotores em todo Brasil, cuja distribuição por região era de 1.184.259 na Norte, 4.448.287 na Nordeste, 20.083.423 na Sudeste, 7.928.580 na Sul e 3.013.952 na Centro-Oeste. E que em 1990 o total era de 18.267.245, mostrando que foram necessários 13 anos para dobrar a frota nacional. Como se vê tem placa para aproximadamente uns 30 anos, na hipótese de que ocorra a mesma evolução mencionada e sem considerar a reutilização.

Exemplo 3: Quantos números ímpares de quatro algarismos podemos escrever utilizando os algarismos 1, 2, 4, 5 e 7?

Solução:

Note que não é condição do problema que os números sejam distintos, mas sómente que sejam ímpares. Desses fatos podemos afirmar que:

• Há três possibilidades de escolha para o algarismo das unidades – algarismos 1, 5 e 7;
• Há cinco possibilidades de escolha para o algarismo das demais casas decimais (milhar, centena e dezena);

para concluir que o total de números ímpares é:

5 x 5 x 5 x 3 = 375

A partir das informações e exemplos pode-se concluir que o princípio fundamental da contagem se constitui em um instrumento básico para a Análise Combinatória. Entretanto, em algumas situações pode se tornar trabalhosa a resolução de problemas com sua aplicação direta. Assim, vamos, a seguir, detalhar as várias maneiras de formarmos agrupamentos e deduzir as fórmulas que permitam a sua contagem.

Permutações Simples ou Sem Repetição

Dado o conjunto A = {a₁, a₂, …, a_n} com n elementos distintos, chamamos permutação dos n elementos de A qualquer sequência formada por esses n elementos.

Por exemplo, se A = {1, 2, 3, 4}, as sequências (1, 2, 3, 4), (1, 3, 2, 4), (1, 4, 2, 3), etc. são permutações dos quatro elementos de A. Do mesmo modo, também são, os anagramas formados pela palavra BLOG, onde cada um dos 24 anagramas é uma permutação das letras (elementos) B, L, O e G.

Fórmula do Número de Permutações

Seja A = {a₁, a₂, …, a_n} um conjunto com n elementos distintos e P_n o número de permutações dos n elementos de A. Então P_n é dado por:

P_n = n.(n – 1).(n – 2). … . 3.2.1

Demonstração:

Basta analisar quantas possibilidades de escolha existem para o primeiro, segundo, …, e n-ésimo termo das sequências, sem repetição dos elementos. Assim, para o primeiro há n possibilidades de escolha, para o segundo (n – 1), para o terceiro (n – 2), …, e para o n-ésimo 1. Logo, pelo princípio fundamental da contagem podemos concluir que o número de permutações de n elementos distintos é dado pela fórmula acima.

Exemplo 4: Com relação a palavra VICHE:

1. Quantos anagramas existem?
2. Quantos anagramas começam por V?
3. Quantos anagramas começam por V e terminam com E?
4. Quantos anagramas começam por vogal?
5. Quantos anagramas têm as vogais juntas?

Solução:

1. Cada anagrama é uma permutação das letras V, I, C, H e E. Logo o número procurado é P₅ = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.
2. Como V é fixo, temos que somente permutar as letras I, C, H e E. Logo o número procurado é P₄ = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.
3. Neste caso temos que permutar as letras I, C e H. Logo o número procurado é P₃ = 3 x 2 x 1 = 6.
4. Na palavra VICHE temos as vogais I e E. Assim, para cada uma delas fixas (início dos anagramas) temos P₄ = 24 permutações (veja item b). Logo o número procurado é 2 x 24 = 48.
5. Como as vogais têm que estar juntas elas funcionam como se fosse uma única, que deve ser permutada com as letras V, C e H. Daqui vem que existem P₄ = 24 permutações. No entanto, as vogais em cada uma dessas permutações podem se permutar entre si. Logo o número procurado é 2 x 24 = 48.

Fatorial

Seja n um número inteiro não negativo, definimos fatorial de n, e indicamos por n!, através da seguinte relação:

n! = n.(n – 1).(n-2). … .3.2.1 para n maior ou igual 2

1! = 1 e 0! = 1

Com a definição acima podemos escrever, de forma simplificada, a fórmula do número de permutações como:

P_n = n! (n pertencente a N*)

O cálculo do fatorial de n, isoladamente, se torna extremamente trabalhoso, à medida que n cresce. Porém, em determinadas situações muitos cálculos podem ser simplificados se utilizamos a seguinte igualdade, de fácil comprovação:

(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2). … .3.2.1 = (n + 1).n!

Por exemplo, para calcular 11!/9!, ao invés de calcularmos 11! e depois 9! e daí obter o resultado da divisão, com a utilização da igualdade acima o processo se torna muito simples, uma vez que:

11!/9! = 11.10.9!/9! = 11.10 = 110

Permutações com Repetição

Até o momento tratamos apenas de casos em que os cálculos de permutações ocorriam entre um determinado número de elementos distintos. Como fazer, então, para calcular o número de anagramas formados com as letras da palavra MARIA (nome de minha saudosa e muito querida mãe), onde temos duas letras A?

O natural seria esperar que o número de anagramas fosse P₅ = 5! = 120. Note, no entanto, que a troca das duas letras iguais (A) em cada anagrama não resulta em um novo. E como a letra A ocupa duas posições a cada permutação (P₂ = 2! = 2), temos que cada anagrama gera dois anagramas iguais, ou seja, cada anagrama é computado duas vezes no cálculo de P₅. Logo, o número de anagramas formados com as letras de MARIA é igual a:

P₅⁽²⁾ = P₅/P₂ = 5!/2! = 120/2 = 60

onde, em P₅⁽²⁾, o 5 indica o total de letras e o (2) mostra que uma letra se repete duas vezes.

E com a palavra ODORIDES (segundo nome de solteira de Mamãe, que ela abominava, com razão, e retirou quando se casou) quantos anagramas podem ser formados com suas letras?

Por raciocínio análogo, teríamos P₈ = 8! = 40.320 anagramas se não houvesse repetições. Como temos duas letras repetidas O e D, temos P₂.P₂ = 4 anagramas iguais para cada anagrama computado em P₈. Logo o número de anagramas é:

P₈^(2,2) = P₈/P₂.P₂ = 8!/2!.2! = 40.320/4 = 10.080

De forma análoga podemos definir a fórmula geral para o cálculo das permutações com repetição (a demonstração não é feita) como sendo:

onde temos n elementos, em que um deles se repete n₁ vezes, outro n₂ vezes, …, e outro n_r vezes.

Exemplo 5: Quantos anagramas existem com as letras da palavra BLOGOBORGES.

Solução:

Aplicação direta da fórmula, com n = 11, n₁ = 2 (letra B), n₂ = 3 (letra O) e n₃ = 2 (letra G):

Arranjos com Repetição

Seja A = {a₁, a₂, …, a_n} um conjunto com n elementos. Chamamos arranjo com repetição dos n elementos p a p a toda sequência formada com p elementos de A não necessariamente distintos.

Fórmula do Número de Arranjos com Repetição

Seja A = {a₁, a₂, …, a_n} um conjunto com n elementos, então o número de arranjos com repetição dos n elementos tomados p a p (p pertencente a N*) é:

(AR)_n,p = n.n. … .n (p fatores iguais a n) => (AR)_n,p = n^p

Demonstração:

A demonstração é consequência do princípio fundamental da contagem e da definição de arranjos com repetição. Da definição segue que cada arranjo é formado por p elementos de A não necessariamente distintos. Desse fato, temos que para cada posição da sequência existem n possibilidades de escolha e a demonstração é concluída pelo princípio, uma vez que teremos o produto de p fatores iguais a n.

Arranjos Simples ou Sem Repetição ou Arranjos

Seja A = {a₁, a₂, …, a_n} um conjunto com n elementos. Chamamos arranjo simples (ou arranjo) dos n elementos p a p, com p maior ou igual a 1 e menor ou igual a n, a qualquer sequência formada com p elementos de A todos distintos.

Fórmula do Número de Arranjos

Seja A = {a₁, a₂, …, a_n} um conjunto com n elementos distintos, então o número de arranjos dos n elementos tomados p a p (p pertencente a N*) é:

A_n,p = n.(n – 1).(n – 2). … .[n - (p - 1)]

Demonstração:

Para demonstrar a fórmula é suficiente determinar quantas sequências, com p elementos distintos de A, é possível formar. Para tanto, bastará determinar os números de possibilidades de escolha para cada um dos elementos da sequência e depois multiplicá-los. Para o primeiro temos n possibilidades de escolha, para o segundo (n – 1), …, e para o p-ésimo n – (p – 1).

Daqui, aplicando o princípio fundamental da contagem obtemos a fórmula do número de arranjos.

Note, a fórmula do número de arranjos diz que para calcular A_n,p basta você fazer o produto do número n por seus sucessivos antecessores até completar p fatores.

Exemplo 6: Calcular A_6,3.

Pelo dito acima vem: A_6,3 = 6 x 5 x 4 = 120.

A fórmula do número de arranjos pode ser simplificada utilizando-se a notação fatorial:

Dessa última fórmula podemos concluir facilmente que se n = p, P_n = A_n,n = n!. Lembre-se da definição de fatorial que 0! = 1.

Exemplo 7: Calcular, agora, A_6,3 utilizando a fórmula simplificada.

A_6,3 = 6!/(6 – 3)! = 6×5x4×3!/3! = 120

Combinações

Seja A = {a₁, a₂, …, a_n} um conjunto com n elementos distintos. Chamamos de combinações dos n elementos, tomados p a p, aos subconjuntos de A constituídos de p elementos, que denotamos por C_n,p.

Veja que na difinição de combinações os agrupamentos formados são conjuntos, diferentemente dos arranjos, onde temos sequências. Portanto, nas combinações a ordem não importa, uma vez que em se tratando de conjuntos {a, b} = {b, a}, o que já não é o caso dos arranjos onde a sequência (a, b) é diferente de (b, a). Na resolução de problemas o fato é determinante para estabelecer o procedimento de cálculo a se adotar.

Cálculo do Número de Combinações

Seja A = {a₁, a₂, …, a_n} um conjunto com n elementos distintos. Então o número de combinações dos n elementos de A, tomados p a p é:

onde é apresentada outra notação utilizada para o número de combinações, no final das igualdades.

Demonstração:

Vimos como calcular o número de arranjos e a diferença entre arranjos e combinações. Assim, efetuado o cálculo do número de arranjos dos n elementos p a p, é suficiente eliminarmos o número de repetições existentes (determinados pela ordem de cada agrupamento de p elementos de A) para obtermos o número de combinações.

Em outras palavras, como em qualquer subconjunto de p elementos de A é gerado p! repetições correspondente às permutações desses p elementos, basta, portanto, dividir o número de arranjos por p!, ou seja:

C_n,p = A_n,p/p!

Substituindo A_n,p na igualdade acima obtemos a fórmula do número de combinações.

Para finalizar o artigo seguem mais alguns exemplos de problemas com as respectivas soluções.

Exemplo 8: De uma lista de 10 ministeriáveis, todos com capacidade administrativa comprovada e honestidade ilibada, indicados pela base aliada, o Presidente da República precisa escolher o Ministro da Educação, o Ministro da Cultura e o Ministro dos Esportes. De quantas maneiras diferentes podem ser feitas as escolhas?

Solução:

Primeiro observe que escolhidos três ministeriáveis da lista eles podem ser designados para ocupar os cargos de maneiras diferentes. Assim, cada agrupamento escolhido é regido por uma relação de ordem. Ou seja, cada agrupamento possível é um arranjo de dez ministeriáveis, tomados três a três. Logo:

A_10,3 = 10 x 9 x 8 = 720

Exemplo 9: Quais são as chances de um apostador acertar a sena, a quina ou a quadra com uma aposta simples de seis números da Mega Sena.

Solução:

Os cálculos dessas probabilidades são feitos utilizando-se de:

P(i) = casos prováveis/casos possíveis

Calculemos, primeiro, os casos possíveis. Como a ordem não importa, estamos diante de um caso clássico de combinações. Portanto, como na Mega Sena existem 60 números vem que:

Como para acertar a sena existe uma única possibilidade (C_6,6= 1):

P(sena) = 1/50.063.860

ou seja, sua chance é de 1 em 50.063.860.

No caso da quina os casos prováveis é dado por:

C_6,5.C_54,1 = 6 x 54 = 324

onde C_6,5 é o número de combinações entre os 6 de uma aposta premiada da quina (5 números de uma aposta) e C_54,1 corresponde ao número de possibilidades para se jogar o sexto (para completar a aposta). Portanto,

P(quina) = 324/50.063.860 = 1/154.518

e sua chance é de 1 em 154.518.

Por raciocínio semelhante ao usado para a quina, os casos prováveis de acertar a quadra é determinado por:

C_6,4.C_54,2 = 15 x 1431 = 21465

e, portanto:

P(quadra) = 21465/50.063.860 = 1/2332

e sua chance é de 1 em 2332.

Referências:

1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
2. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.

Apesar das colocações sobre as razões de não publicar o detalhamento do “modelo matemático” – a Estrutura das Classes -, passo a fazê-lo agora em função de mensagem recebida de um representante da classe, onde ele coloca que o fato em si “não traria nenhum prejuízo social aos tecelões que empregam a técnica repasso”.

É condição prévia para o entendimento deste artigo os conceitos esboçados nos anteriores os quais podem ser visualizados (e lidos) na Categoria Tecelagem.
Entenderemos por Estrutura de uma Classe à propriedade geral que estabelece as condições necessária e suficiente para a determinação de seus elementos dentro de um universo mais amplo.

A estrutura será instituída sem considerar a frequência com que os pares de pedais são pisados e o número de ES que constitui cada sequência de pedalagem. Essas duas variáveis, explicadas em artigos anteriores, são os indicativos que destinguem e determinam os diversos elementos pertencentes a uma classe, tomando-se por base os códigos repassos utilizados no Triângulo Mineiro.

Classe XADREZ SIMPLES (XDS)

A propriedade geral (a estrutura) da classe consiste na alternância entre dois pares de pedais escolhidos entre os quatro utilizados na construção dos padrões.

Genericamente, é representada com sendo o ciclo orientado

onde a e b simbolizam dois pares de pedais quaisquer e distintos.

Exemplificando: a sequência de pares de pedais que gera este padrão é um elemento da classe XDS e é constituída da alternância dos pares a = 24 e b = 23 pisados 3 vezes cada um (frequência UNIFORME) tendo 22 ES (324 323 324 323 324 323 324 323 324 323 324 323 324 323 324 323 324 323 324 323 324 323).

A sequência é obtida do ciclo partindo de a (24), seguindo para b (23), voltando para a e assim sucessivamente até o número de pares (22) desejado, definindo-se, a cada passo, o número de vezes que cada par de pedais é pisado (pode ser UNIFORME – 3, como no exemplo, ou VARIÁVEL).

Observe, e esta é a regra normalmente utilizada pelos tecelões, que a sequência de pares de pedais inicia com um par (a = 24) e termina com o outro (b = 23). Isto porque o Motivo Gerador (MG) também possui uma propriedade cíclica, o que evita se ter um retângulo mais largo em partes do padrão quando ocorre a repetição na montagem do urdume e da trama.

Com base na propriedade cíclica do MG, o código repasso para obter como resultado esse tipo de padrão poderia (não é o caso real) ser constituído por dois pares de pedais (24 e 23, por exemplo), sem considerar a frequência.

Sequências de pedalagem diferentes da classe XDS podem gerar o mesmo efeito visual. É suficiente tomar sequências, contínuas ou descontínuas, com o mesmo número de ES, cujas distribuições de frequência de pedalagem sejam as mesmas. Por exemplo, as sequências

324 114 324 114 324

323 113 323 113 323

314 113 314 113 314

são todas contínuas, possuem 5 ES, têm a mesma distribuição de frequência de pedalagem (os primeiros pares de pedais das 3 sequências são pisados 3 vezes, os segundos 1 vez e assim por diante) e geram o mesmo efeito visual. Para verificar a afirmação, se assim você desejar, faça a montagem da matriz como explicado no artigo anterior.

Embasado nessas observações, vamos definir o que se entende por uniformidade ou variabilidade de uma sequência de pedalagem pertencente a uma classe COMPOSTA, deixada em aberto no final do artigo sobre as Considerações Iniciais do Script.

Será UNIFORME (U), quando todas as sequências do tipo XDS que a compõe geram o mesmo efeito visual, e será VARIÁVEL (V) em caso contrário. Lembre-se que uma sequência de uma classe composta é formada, sempre, por sequências do tipo XDS.

Classe XADREZ COMPOSTA (XDC)

A propriedade geral da classe é semelhante, estruturalmente, à da classe XDS. Consiste da alternância de duas estruturas (ao invés de pares de pedais) particulares, distintas e do tipo XDS. Simbolicamente representada pelo ciclo orientado

onde A e B são estruturas distintas da classe XDS. Observe, estruturas, e não sequências específicas, são utilizadas para definir a classe.
Veja o exemplo de um padrão gerado por uma sequência de pedalagem pertencente à classe XDC UNIFORME, onde:

repetidas alternadamente. O código repasso completo é exibido no final do padrão e é composto por A B A B.

A observação feita na definição da classe (em negrito) diz que uma sequência do tipo:

323 324 323 | 313 314 313 | 323 324 323 324 323 | 313 314 313 314 313

pertence à classe XDC, onde as subsequências, separadas por uma barra, são distintas mas apenas a alternância de duas estruturas do tipo XDS estão presentes. A primeira (A) composta da alternância dos pares de pedais 23 e 24 e a segunda pela alternância dos pares 13 e 14.

Essa característica determina os elementos da classe XDC VARIÁVEL conforme a definição acima colocada.

Na tentativa de dar maior clareza a esse conceito (é o esperado) veja um exemplo de um padrão cuja sequência geradora (o MG) pertence à classe XDC VARIÁVEL, composta da alternância das estruturas

onde as três subsequências extraídas de A são todas iguais a 313 314 313, enquanto que as obtidas de B duas são iguais a 324 323 324 e a outra é 324 323 324 323 324 323 324 323 324 323 324 323 324 323 324 323 324 com 17 ES. Em termos de estrutura podemos representar esta sequência como A (3 ES com frequência 3), B (idem), A (idem), B (idem), A (idem) e B (17 ES com frequência 3).

É razoável a ocorrência de sequências desse tipo no Triângulo Mineiro.

Classe DIAGONAL SIMPLES (DS)

A propriedade geral, que permite determinar as sequências de pedalagem contínuas (as mais frequentes) pertencentes à classe DS, é dada pelo ciclo abaixo que pode ser percorrido, a partir de qualquer um dos pares de pedais, ou no sentido horário ou no sentido anti-horário:

Assim, uma sequência de pedalagem contínua é um elemento da classe DS se e somente se, eliminadas as frequências com que os pares de pedais são pisados, estes percorram um dos caminhos do ciclo.

Por exemplo, a sequência geradora (314 313 323 324 314 313 323 324 …) deste padrão é um elemento da classe, porque, eliminada a frequência, no caso uniforme, ela percorre o seguinte caminho no ciclo: início do par de pedais 14, sentido anti-horário e término no par 24 quando ele é encontrado pela quinta vez.

Já para a sequência com frequência de pedalagem variável, geradora deste padrão, temos o caminho com início no par de pedais 13, sentido do percurso horário e término no par 23 quando encontrado pela oitava vez. A ondulação é devida à variação do número de vezes com que os pares de pedais são pisados.

Deve ser acrescida à propriedade geral que o par de pedais final do MG, obtido a partir do ciclo (ou no sentido horário ou no anti-horário), deve ser o imediatamente anterior ao par inicial. Note que o fato ocorre nos dois exemplos apresentados. Mais uma vez, é consequência da propriedade cíclica do MG. A não observância da regra pode gerar distorções no desenho como um todo. Veja neste exemplo o padrão gerado por uma sequência que não obedece a regra: início em 13, sentido horário e término no par 24 quando encontrado pela terceira vez, o qual não é o imediatamente anterior ao inicial. Observe que é gerada uma “quebra” nas diagonais o que não ocorre com a sequência correta com final no par 23.
Até o momento foram consideradas as sequências de pedalagem da classe DS contínuas. No entanto, é perfeitamente válido que uma sequência da classe DS possa ser definida sem respeitar o princípio de continuidade. É o caso da sequência:

313 324 314 323 313 324 314 323 313 324 314 323

que utiliza os quatro pares de pedais que são repetidos na mesma ordem e finaliza no par imediatamente anterior ao inicial como no caso contínuo.

Assim, podemos definir a estrutura geral que engloba ambos os tipos de sequência de pedalagem pertencente à classe DS, como sendo o ciclo:

onde a, b, c e d representam pares de pedais distintos. Seu uso é feito da mesma forma antes explicada.

A título de ilustração, a sequência anterior pode ser obtida desse ciclo tomando-se, por exemplo, a = 13, b = 24, c = 14 e d = 23, sentido horário com término no par 23 quando encontrado pela terceira vez. Note que a descontinuidade ocorre entre os pares 13 e 24.

No ciclo geral estão condensadas as 24 possibilidades de se ordenar os 4 pares de pedais utilizados na determinação das sequências de pedalagem da classe DS. O primeiro (das sequências contínuas) e o dois abaixo para as sequências descontínuas:

Vale ressaltar que as sequências mais elementares da classe DS são as obtidas pelo uso de apenas 2 pares de pedais pisados numa certa frequência (por exemplo 313 314). Entretanto, este tipo de sequência com um número pequeno de ES, aparece mais comumente em combinação com sequências de outras classes, como veremos adiante.

O fato demonstra que, dependendo da composição do padrão, não há necessidade de percorrer todos os pares de pedais do(s) ciclo(s).

Classe DIAGONAL COMPOSTA (DC)

As sequências de pedalagem contínuas da classe DIAGONAL COMPOSTA (DC) são determinadas a partir do ciclo a seguir:

onde E, F, G e H são estruturas particulares e distintas da classe XDS que obedecem um princípio de construção bem definido.

Do mesmo modo que no caso da classe DS, não há obrigatoriedade do uso das 4 estruturas para se construir um elemento da classe DC.

Iniciaremos estabelecendo a idéia geral do princípio com base na sequência de pedalagem que gera este padrão. Para isto abandonaremos a frequência com que são pisados os pares de pedais. Do código repasso (o MG) desse padrão pode-se construir o seguinte esquema:

onde à esquerda do traço azul temos as sequências de pares de pedais utilizadas, com o caminho em vermelho percorrido no ciclo e à direita as estruturas XDS correspondentes.

A sequência E é composta da alternância de dois pares de pedais quaisquer e contínuos pisados de maneira UNIFORME ou VARIÁVEL (no padrão do exemplo pares 14 e 24 pisados nas frequências 3 e 1, respectivamente).

A sequência F é obtida tomando-se o penúltimo par de pedais da sequência E (24), sendo o outro, o par (23) que combina com ele sem gerar descontinuidade (frequências 3 e 1).

A sequência G é definida de maneira análoga ao da sequência F, observando-se apenas que seu último par (13) deve ser contínuo com o primeiro da sequência E (14).

O exemplo não faz uso da estrutura H do ciclo. Portanto cabe a pergunta: como se deve proceder para construir uma sequência de pedalagem da classe DC contínua com as quatro estruturas?

Para explicar, vamos utilizar o exemplo mostrando a necessidade de uma pequena alteração na estrutura G. Pelo raciocínio até aqui desenvolvido o lógico seria tomar o último par da sequência G (23) como par inicial de H. Assim, teríamos, sem quebrar o princípio da continuidade, para o outro par de H as seguintes opções 13 ou 24.

O par 23 não pode ser pois teríamos H = G e nem tampouco 24 pois teríamos uma estrutura igual a F (veja ciclo à direita) com ínicio no par 23. Ambas as possibilidades contradiz a definição da classe DC. Qual seria, então, a alternativa? Eliminar ou acrescentar um par de pedais em G.

Adotando-se a posição de eliminar o último par 13 da sequência G, o penúltimo par passaria a ser o 13 (o mesmo aconteceria se fosse acrescentado o par 23) e H, necessariamente, seria constituído da alternância entre os pares de pedais 13 e 14, sendo 13 o seu último par. Ou seja H teria a seguinte composição 13 14 13 14 13 14 13 14 13, por exemplo.

Com base nessas explicações é possível estabelecer a generalização do princípio de construção, a, b, c e d representam pares de pedais distintos – no caso contínuo – como se segue:

onde:

[1] – Início em a e supondo b como o penúltimo par de pedais; a e b contínuos;

[2] – Início e término em b, implicando em c ser o penúltimo par e que a sequência tenha um número ímpar de elementos; b e c contínuos;

[3] – Início em c e término em d, número ímpar de elementos, d penúltimo par; c e d contínuos;

[4] – Ínicio e término em d; d e a contínuos.

A suposição de a ser o penúltimo par de pedais da primeira estrutura – e isto ocorre quando a sequência dela extraída contem um número par de elementos – conduz a um esquema semelhante. O número de ES e a distribuição da frequência de pedalagem são dados preenchidos conforme desejado.

A idéia central do princípio de construção para o caso contínuo se extende para o caso descontínuo.

Por enquanto, ficamos por aqui.