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22
jun

Com este artigo, a Parte III, estamos concluindo o tema Progressões. As Partes I e II se referem à teoria sobre Sequência e PA e PG, respectivamente, que podem ser consultadas, caso seja necessário, para um melhor entendimento das soluções dos exercícios a seguir.

Os sete primeiros exercícios foram extraídos do sítio Vestibulando Web e suas respostas estão indicadas em negrito. Na mesma página você encontra outros exercícios interessantes, não resolvidos aqui e nem lá, para que você teste seus conhecimentos.

Exercício 1: (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:

a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18

Solução:

Sejam (a1, a2, a3, …) a PA de razão r e (g1, g2, g3, …) a PG de razão q. Temos como condições iniciais:

(1) a1 = g1 = 4

(2) a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g3

(3) a2 = g2 + 2

Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:

(4) a3 = a1 + 2r e g3 = g1.q2 => 4 + 2r = 4q2

(5) a2 = a1 + r e g2 = g1.q => 4 + r = 4q + 2

Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem:

(5) => r = 4q + 2 – 4 => r = 4q – 2

(4) => 4 + 2(4q – 2) = 4q2 => 4 + 8q – 4 = 4q2 => 4q2 – 8q = 0

=> q(4q – 8) = 0 => q = 0 ou 4q – 8 = 0 => q = 2

Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5):

r = 4q – 2 => r = 8 – 2 = 6

Para concluir calculamos a3 e g3:

a3 = a1 + 2r => a3 = 4 + 12 = 16

g3 = g1.q2 => g3 = 4.4 = 16

Exercício 2: (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:

a) [– 2, –1]
b) [– 1, 0]
c) [0, 1]
d) [1, 2]
e) [2, 3]

Solução:

Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação da definição de PA):

(1) -5n = 2 + 3n + r

(2) 1 – 4n = -5n + r

Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):

(1) => r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2

(2) => 1 – 4n = -5n – 8n – 2 => 1 – 4n = -13n – 2

=> 13n – 4n = -2 – 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3

Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b).

Exercício 3: (PUC-SP/2003) Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a30 + a55 é igual a:

a) 58
b) 59
c) 60
d) 61
e) 62

Solução:

Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 – (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 – (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato:

(1) ai = a1 + (i – 1).1 = a1 + i – 1

Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsicamente relacionada às duas progressões da seguinte forma:

  • Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i – 1, ou seja, i = (n + 1)/2;
  • se n é par temos n = 2i ou i = n/2.

Daqui e de (1) obtemos que:

an = 10 + [(n + 1)/2] – 1 se n é ímpar

an = 8 + (n/2) – 1 se n é par

Logo:

a30 = 8 + (30/2) – 1 = 8 + 15 – 1 = 22

e

a55 = 10 + [(55 + 1)/2] – 1 = 37

E portanto:

a30 + a55 = 22 + 37 = 59

Exercício 4: (UFSCAR/2000) A condição para que três números a, b e c estejam, simultaneamente, em progressão aritmética e em progressão geométrica é que:

a) ac = b2
b) a + c = 2
c) a + c = b2
d)
a = b = c
e) ac = 2b

Solução:

A condição para que a, b e c sejam ao mesmo tempo uma PA de razão r e uma PG de razão q é:

(1) b = a + r = aq => r = a(q – 1)

(2) c = b + r = bq => r = b(q – 1)

De (1) e (2) vem:

a(q – 1) = b(q – 1) => (a – b)(q – 1) = 0

Para que o produto seja igual a zero:

ou a – b = 0 ou q – 1 = 0 ou ambas => ou a = b ou q = 1 ou ambas

Como se trata de uma PG se a é igual a b, necessariamente q = 1. A recíproca também é verdadeira, isto é, se q = 1 então a = b. Logo a = b e q = 1. Daqui, de (1) e de (2) segue que r = 0 e b = c = a.

Exercício 5: (UFLA/99) A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:

a) 3,1
b) 3,9
c) 3,99
d) 3,999
e) 4

Solução:

Sejam S a soma dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de razão q = 10-1 = 0,1. Assim:

S = 3 + S1

Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1:

S1 = 0,9/(1 – 0,1) = 0,9/0,9 = 1 => S = 3 + 1 = 4

Exercício 6: (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:

a) 3,0
b) 1,0
c) 1,5
d) -1,5
e) -3,0

Solução:

Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA:

S20 = 20( a1 + a20)/2 = -15

Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos, uma vez que:

15 + 6 = 20 + 1 = 21

E, portanto:

a6 + a15 = a1 + a20

Substituindo este valor na primeira igualdade vem:

20(a6 + a15)/2 = -15 => 10(a6 + a15) = -15

=> a6 + a15 = -15/10 = -1,5

Exercício 7: (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e -24, tomados nessa ordem, é:

a) -48
b) -96
c) 48
d) 96
e) 192

Solução:

Para determinar os dois meios geométricos da PG cujos extremos são 3 e -24 precisamos calcular, primeiro, sua razão q, com n = 4. Pela fórmula do termo geral temos que:

a4 = a1.q4-1 => -24 = 3q3 => q3 = -24/3 = -8 => q = -2

Logo a PG é (3; -6; 12; -24; …) e seu sexto termo é obtido, também, através da fórmula do termo geral:

a6 = a1q6-1 => a6 = 3(-2)5 = -3.32 = -96

Os exercícios 8 e 9 a seguir foram propostos pelo leitor Watson Meyer, no comentário 17 do artigo sobre Potenciação.

Exercício 8: Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a1 = 6, determine n tal que Sn é igual a 1456.

Solução:

Sabemos que:

(1) Sn = (a1 + an)n/2 = (6 + an)n/2 = 1456 => (6 + an)n = 2912

Para determinar n basta expressarmos an em função de n, o que é feito através da fórmula do termo geral de uma PA:

(2) an = 6 + (n – 1).4 = 6 + 4n – 4 = 4n + 2

Substituindo (2) em (1):

(6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n2 + 8n – 2912 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:

n1 = 26 e n2 = -28

Como n > 0, a resposta é 26.

Exercício 9: A soma dos infinitos termos da P.G (x/2; x2/4; x3/8; …) é igual a 1/10. Qual o valor de x?

Solução:

Note que, pela lei de formação da PG, a razão é q = x/2. Como uma PG infinita converge somente se -1 < q < 1, o valor de x deve ser tal que esta condição seja satisfeita. Aplicando, então, a fórmula da soma vem que:

Exercício 9 - Solução

Para que a solução esteja completa falta verificar se q satisfaz a condição de convergência:

Verificação Exercício 9

Como -1 < q < 1 a solução está concluída e x = 2/11.

Para finalizar a matéria, vamos resolver o último exercício extraído do livro Matemática para o Ensino Médio de Manoel Jairo Bezerra.

Exercício 10: As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3. Calcule essas medidas.

Solução:

Sejam a, b e c as medidas dos lados do triângulo, onde a é a hipotenusa, b a base e c o outro lado. Como eles estão em PA, (b; c; a) nesta ordem, de razão 3 vem que:

b = a – 6 e c = a – 3

Por outro lado, do Teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, temos que:

a2 = b2 + c2 => a2 = (a – 6)2 + (a – 3)2

Resolvendo os produtos notáveis:

a2 = a2 – 12a + 36 + a2 – 6a + 9 = 2a2 – 18a + 45

=> a2 – 18a + 45 = 0 => a = 15 e a = 3

Mas a não pode ser igual 3, uma vez que teríamos c = 0 e b = -3, o que contradiz claramente o fato de serem medidas dos lados de um triângulo retângulo. Logo:

a = 15 => b = 15 – 6 = 9 e c = 15 – 3 = 12

E a PA é:

(9; 12; 15).

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  1. Um Exercício de Prospecção
  2. Curiosidade Matemática #5 – Método de Pitágoras para Calcular a Potência de Grau 2 de um Número
  3. Exercícios Resolvidos #4 – Logaritmo
  4. Exercícios Resolvidos #3 – Radiciação
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  6. Progressões – Parte I
  7. Exercícios Resolvidos #1 – Potenciação

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Categoria : Matemática / Questionarious / Exercícios Resolvidos / Técnico





323 Respostas para “Exercícios Resolvidos #2 – PA e PG”


Elane Alves dezembro 13, 2009

eu gostaria de ver a resposta dessa questão: Se eu conseguir reduzir do valor de um produto, um quinto deste preço á vista e pagar R$ 128,00 por quatro das nove parcelas. Qual é o preço total do produto sem este desconto?

costamario dezembro 9, 2009

preciso todo exercicio resolvido de PG e de PA

Marcellus dezembro 8, 2009

muito bom porque nos ajudam a aprender o que não sabemos e revisar para provas e o enem.

mariana alves vieira novembro 29, 2009

gostei muito dessa pagina pois ajuda muito o aluno e entender melhor o assunto

ikaro novembro 28, 2009

puxa esse site me ajudou bastante naum era bem o que eu keria mass ajudou mesmo

Aryane kelly novembro 14, 2009

Muito bom, mas se tivesse umas aplicações do nosso cotidiano seria bem melhor.. pois o que mais pede nas escolas é aplicação de exercicios de Pa
no nosso cotidiano.No caso é o que eu vim proucurar “aplicação de PA no nosso cotidiano ” eu não encontrei mas achei bem explicado os exercicios acima !

kassia raquell novembro 10, 2009

quero o calculo destas perguntas..
1)Determine o número de termos da P.A (4,8…104).

2)Determine a razão de uma P.A em que a4 = 11e a10 = 29.

3)Insira 7 meios geometricos entre 3 e 768.

Aryane novembro 7, 2009

Muito bom e muito bem explicado

Amei !!!

mas deveria mostrar mais sobre P.A porque é o mais ultilizado nas escolas.

mas foi bom pois tirem muitas dúvidas …

Adorei !!!

Maria Tereza outubro 25, 2009

Vi questões parecidas aos exercícios de que tenho dúvida, mas tenho também dúvida nessa questão:
“A área de uma planta que vive na superfície de um lago dobra a cada semestre que passa.Se após 10 anos o lago ficou totalmente coberto por essa planta, quanto tempo levou para que a quarta parte da superfície desse lago estivesse coberta?´´

Caroline Prates outubro 16, 2009

QUERO A RESPOSTA SE POSSIVEL!
QUAL A SOMA DOS 100 PRIMEIROS NUMEROS PARES POSITIVOS?

OBRIGADA

barbara stayle di santi outubro 9, 2009

ótimo ,mas deveriam mostrar mais sobre p.a porque é o mais ultilizado nas escolas.
obrigada.

mara setembro 27, 2009

adorei!!!!!

edna mendonça setembro 22, 2009

oi vcs são o maximo, eu estava com muitas duvidas mas depois q eu entrei e vi todos esses calculos resolvidos tirei todas as minhas duvidas.obrigado

ana laura setembro 12, 2009

Jaine
a resposta do vigesimo primeiro termo é a letra D 145.
Parabéns,pelo site tem ótimos exercicios!

Adália Pereira agosto 26, 2009

tbm não entendi nadinha…
por favor tentem colocar no nosso idioma!!!rsrsrs

Thayná agosto 22, 2009

Olha só estava precisando de 15 só tem 10 mais ta bem.Obrigada esta otimo esses

jaine agosto 20, 2009

A area de um quadrado inscrito em uma sircuferencia cujo o raio mede 4 cm é:

a)16 cm2
b)32 cm2
c)44 cm

qual dessa alternativasestão sertas por favol.

grata…jaine

jaine agosto 20, 2009

gostaria de saber qual dessas alternativas estão corretos.

Na P.A. (5,12,19…) temos o primeiro termo igual a 5 a a razão igual a 7. O vigésimo primeiro termo dessa P.A. é:
a)26
b)97
c)208
d)145

Amanda C Gonçalves agosto 15, 2009

Preciso que me ajude a resolver esse exercicío:
Nos últimos 5 anos uma fábrica de sapatos aumentou a sua produção em progressão aritmética. Em 1990 produziu 2500 pares de sapato, em 1991 produziu 2771, e assim sucessivamente. A previsão de produção de pares de sapato para 1995 é:
a)3584 b) 4126 c)3313 d) 3855 e) 4397.
Se vcs me ajudarem serei mto grata!!
obrigada..
ah gostei mto do site…

tania agosto 12, 2009

eu li todas as questões e não entendi nada é muito difícil ta bom vcs deveria da mas alguns esclarecimentos .

SUEIDE REGINA DOS SANTOS agosto 1, 2009

MATEMATICA E UMA DROGA…

APOLINARIO COSTA COELHO julho 21, 2009

gostaria de receber sempre alguns exerciçios resolvidos para que eu entendesse melhor a matemática
obrigado